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東京大学 工学系研究科 2020年度 数学 第4問

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

問題​

3次元直交座標系において、媒介変数 θ∈[0,π]\theta\in[0,\pi] により次の二つの曲線を定める。

P(θ)=(x(θ),y(θ),0),Q(θ)=(x(θ),y(θ),z(θ)),\boldsymbol P(\theta)=(x(\theta),y(\theta),0),\qquad \boldsymbol Q(\theta)=(x(\theta),y(\theta),z(\theta)),
x(θ)=32cos⁡θ−12cos⁡3θ,y(θ)=32sin⁡θ−12sin⁡3θ.x(\theta)=\frac32\cos\theta-\frac12\cos3\theta,\qquad y(\theta)=\frac32\sin\theta-\frac12\sin3\theta.

zz は連続であり、z(0)>0z(0)>0、z(π)<0z(\pi)<0 を満たす。また Q\boldsymbol Q は原点を中心とする半径 22 の球面上にある。曲線の正方向は θ\theta が増加する向きとし、曲率は曲率半径の逆数とする。

I. P\boldsymbol P の θ=0\theta=0 から π\pi までの弧長を求めよ。

II. z(θ)z(\theta) を求めよ。

III. Q\boldsymbol Q の正方向の接ベクトルと zz 軸正方向の単位ベクトルとの角を α\alpha とする。cos⁡α\cos\alpha を求めよ。

IV. P\boldsymbol P の曲率 κP(θ)\kappa_P(\theta) を求めよ。ただし 0<θ<π0<\theta<\pi とする。

V. Q\boldsymbol Q の曲率 κQ\kappa_Q を κP\kappa_P と α\alpha で表せ。ただし 0<θ<π0<\theta<\pi とする。

题目描述​

在三维直角坐标系中，以 θ∈[0,π]\theta\in[0,\pi] 为参数定义

P(θ)=(x(θ),y(θ),0),Q(θ)=(x(θ),y(θ),z(θ)),\boldsymbol P(\theta)=(x(\theta),y(\theta),0),\qquad \boldsymbol Q(\theta)=(x(\theta),y(\theta),z(\theta)),
x(θ)=32cos⁡θ−12cos⁡3θ,y(θ)=32sin⁡θ−12sin⁡3θ.x(\theta)=\frac32\cos\theta-\frac12\cos3\theta,\qquad y(\theta)=\frac32\sin\theta-\frac12\sin3\theta.

zz 连续，z(0)>0z(0)>0、z(π)<0z(\pi)<0，且 Q\boldsymbol Q 位于以原点为中心、半径为 22 的球面上。曲线正向为 θ\theta 增大的方向，曲率定义为曲率半径的倒数。

I. 求 P\boldsymbol P 从 θ=0\theta=0 到 π\pi 的弧长。

II. 求 z(θ)z(\theta)。

III. α\alpha 为 Q\boldsymbol Q 的正向切向量与 zz 轴正向单位向量的夹角，求 cos⁡α\cos\alpha。

IV. 求 P\boldsymbol P 的曲率 κP(θ)\kappa_P(\theta)（0<θ<π0<\theta<\pi）。

V. 用 κP\kappa_P 和 α\alpha 表示 Q\boldsymbol Q 的曲率 κQ\kappa_Q（0<θ<π0<\theta<\pi）。

Kai​

I.​

微分して和積公式を用いると

P′=3sin⁡θ(cos⁡2θ,sin⁡2θ,0),∣P′∣=3sin⁡θ.\boldsymbol P'=3\sin\theta(\cos2\theta,\sin2\theta,0),\qquad |\boldsymbol P'|=3\sin\theta.

したがって L=∫0π3sin⁡θ dθ=6\boxed{L=\int_0^\pi3\sin\theta\,d\theta=6} である。

II.​

x2+y2=52−32cos⁡2θ=1+3sin⁡2θ.x^2+y^2=\frac52-\frac32\cos2\theta=1+3\sin^2\theta.

球面の条件から z2=3cos⁡2θz^2=3\cos^2\theta を得る。連続性と両端での符号より

z(θ)=3cos⁡θ.\boxed{z(\theta)=\sqrt3\cos\theta}.

III.​

z′=−3sin⁡θz'=-\sqrt3\sin\theta、∣Q′∣=23sin⁡θ|\boldsymbol Q'|=2\sqrt3\sin\theta なので、

cos⁡α=z′∣Q′∣=−12.\boxed{\cos\alpha=\frac{z'}{|\boldsymbol Q'|}=-\frac12}.

端点でも片側接線の連続な極限をとれば同じ値となる。

IV–V.​

二つの曲線の単位接ベクトルは

TP=(cos⁡2θ,sin⁡2θ,0),TQ=(sin⁡αcos⁡2θ,sin⁡αsin⁡2θ,cos⁡α).T_P=(\cos2\theta,\sin2\theta,0),\qquad T_Q=(\sin\alpha\cos2\theta,\sin\alpha\sin2\theta,\cos\alpha).

よって ∣TP′∣=2|T_P'|=2、∣TQ′∣=2sin⁡α|T_Q'|=2\sin\alpha であり、 dsP/dθ=sin⁡α dsQ/dθds_P/d\theta=\sin\alpha\,ds_Q/d\theta が成り立つ。したがって

κP=∣TP′∣∣P′∣=23sin⁡θ,κQ=κPsin⁡2α=12sin⁡θ.\boxed{\kappa_P=\frac{|T_P'|}{|\boldsymbol P'|}=\frac2{3\sin\theta}},\qquad \boxed{\kappa_Q=\kappa_P\sin^2\alpha=\frac1{2\sin\theta}}.

平面曲線と球面上の空間曲線

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