東京大学 工学系研究科 2020年度 数学 第4問

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• Arc-Length-Parameter-and-Curvature

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

問題

3次元直交座標系において、媒介変数 $\theta\in[0,\pi]$ により次の二つの曲線を定める。

$$\boldsymbol P(\theta)=(x(\theta),y(\theta),0),\qquad \boldsymbol Q(\theta)=(x(\theta),y(\theta),z(\theta)),$$

$$x(\theta)=\frac32\cos\theta-\frac12\cos3\theta,\qquad y(\theta)=\frac32\sin\theta-\frac12\sin3\theta.$$

$z$ は連続であり、$z(0)>0$、$z(\pi)<0$ を満たす。また $\boldsymbol Q$ は原点を中心とする半径 $2$ の球面上にある。曲線の正方向は $\theta$ が増加する向きとし、曲率は曲率半径の逆数とする。

I. $\boldsymbol P$ の $\theta=0$ から $\pi$ までの弧長を求めよ。

II. $z(\theta)$ を求めよ。

III. $\boldsymbol Q$ の正方向の接ベクトルと $z$ 軸正方向の単位ベクトルとの角を $\alpha$ とする。$\cos\alpha$ を求めよ。

IV. $\boldsymbol P$ の曲率 $\kappa_P(\theta)$ を求めよ。ただし $0<\theta<\pi$ とする。

V. $\boldsymbol Q$ の曲率 $\kappa_Q$ を $\kappa_P$ と $\alpha$ で表せ。ただし $0<\theta<\pi$ とする。

题目描述

在三维直角坐标系中，以 $\theta\in[0,\pi]$ 为参数定义

$$\boldsymbol P(\theta)=(x(\theta),y(\theta),0),\qquad \boldsymbol Q(\theta)=(x(\theta),y(\theta),z(\theta)),$$

$$x(\theta)=\frac32\cos\theta-\frac12\cos3\theta,\qquad y(\theta)=\frac32\sin\theta-\frac12\sin3\theta.$$

$z$ 连续，$z(0)>0$、$z(\pi)<0$，且 $\boldsymbol Q$ 位于以原点为中心、半径为 $2$ 的球面上。曲线正向为 $\theta$ 增大的方向，曲率定义为曲率半径的倒数。

I. 求 $\boldsymbol P$ 从 $\theta=0$ 到 $\pi$ 的弧长。

II. 求 $z(\theta)$。

III. $\alpha$ 为 $\boldsymbol Q$ 的正向切向量与 $z$ 轴正向单位向量的夹角，求 $\cos\alpha$。

IV. 求 $\boldsymbol P$ 的曲率 $\kappa_P(\theta)$（$0<\theta<\pi$）。

V. 用 $\kappa_P$ 和 $\alpha$ 表示 $\boldsymbol Q$ 的曲率 $\kappa_Q$（$0<\theta<\pi$）。

Kai

I.

微分して和積公式を用いると

$$\boldsymbol P'=3\sin\theta(\cos2\theta,\sin2\theta,0),\qquad |\boldsymbol P'|=3\sin\theta.$$

したがって $\boxed{L=\int_0^\pi3\sin\theta\,d\theta=6}$ である。

II.

$$x^2+y^2=\frac52-\frac32\cos2\theta=1+3\sin^2\theta.$$

球面の条件から $z^2=3\cos^2\theta$ を得る。連続性と両端での符号より

$$\boxed{z(\theta)=\sqrt3\cos\theta}.$$

III.

$z'=-\sqrt3\sin\theta$、$|\boldsymbol Q'|=2\sqrt3\sin\theta$ なので、

$$\boxed{\cos\alpha=\frac{z'}{|\boldsymbol Q'|}=-\frac12}.$$

端点でも片側接線の連続な極限をとれば同じ値となる。

IV–V.

二つの曲線の単位接ベクトルは

$$T_P=(\cos2\theta,\sin2\theta,0),\qquad T_Q=(\sin\alpha\cos2\theta,\sin\alpha\sin2\theta,\cos\alpha).$$

よって $|T_P'|=2$、$|T_Q'|=2\sin\alpha$ であり、 $ds_P/d\theta=\sin\alpha\,ds_Q/d\theta$ が成り立つ。したがって

$$\boxed{\kappa_P=\frac{|T_P'|}{|\boldsymbol P'|}=\frac2{3\sin\theta}},\qquad \boxed{\kappa_Q=\kappa_P\sin^2\alpha=\frac1{2\sin\theta}}.$$