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東京大学 工学系研究科 2020年度 数学 第3問

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

I.​

整数 n≥2n\ge2 に対して fn(z)=1/(zn−1)f_n(z)=1/(z^n-1) とする。

  1. n=3n=3 のとき、すべての特異点を求めよ。
  2. 任意の特異点 p0p_0 における留数を求め、n,p0n,p_0 を用いて簡潔に表せ。
  3. CC を反時計回りの円周 ∣z∣=2|z|=2 とする。∮Cfn(z) dz\displaystyle\oint_Cf_n(z)\,dz を求めよ。

II–IV.​

次の三つの極限をそれぞれ求めよ。

lim⁡ε→0+[∫−∞1−εdxx3−1+∫1+ε∞dxx3−1],\lim_{\varepsilon\to0^+}\left[ \int_{-\infty}^{1-\varepsilon}\frac{dx}{x^3-1} +\int_{1+\varepsilon}^\infty\frac{dx}{x^3-1}\right],
lim⁡ε→0+[∫01−εcos⁡xx4−1 dx+∫1+ε∞cos⁡xx4−1 dx],\lim_{\varepsilon\to0^+}\left[ \int_0^{1-\varepsilon}\frac{\cos x}{x^4-1}\,dx +\int_{1+\varepsilon}^\infty\frac{\cos x}{x^4-1}\,dx\right],
lim⁡ε→0+[∫01−εsin⁡(x2−π/4)x4−1 dx+∫1+ε∞sin⁡(x2−π/4)x4−1 dx].\lim_{\varepsilon\to0^+}\left[ \int_0^{1-\varepsilon}\frac{\sin(x^2-\pi/4)}{x^4-1}\,dx +\int_{1+\varepsilon}^\infty\frac{\sin(x^2-\pi/4)}{x^4-1}\,dx\right].

题目描述​

I.​

设 fn(z)=1/(zn−1)f_n(z)=1/(z^n-1)，n≥2n\ge2 为整数。

  1. 当 n=3n=3 时，求全部奇点。
  2. 求任一奇点 p0p_0 处的留数，用 n,p0n,p_0 简洁表示。
  3. CC 为逆时针圆周 ∣z∣=2|z|=2，求 ∮Cfn(z) dz\displaystyle\oint_Cf_n(z)\,dz。
II–IV.​

分别求下列极限：

lim⁡ε→0+[∫−∞1−εdxx3−1+∫1+ε∞dxx3−1],\lim_{\varepsilon\to0^+}\left[ \int_{-\infty}^{1-\varepsilon}\frac{dx}{x^3-1} +\int_{1+\varepsilon}^\infty\frac{dx}{x^3-1}\right],
lim⁡ε→0+[∫01−εcos⁡xx4−1 dx+∫1+ε∞cos⁡xx4−1 dx],\lim_{\varepsilon\to0^+}\left[ \int_0^{1-\varepsilon}\frac{\cos x}{x^4-1}\,dx +\int_{1+\varepsilon}^\infty\frac{\cos x}{x^4-1}\,dx\right],
lim⁡ε→0+[∫01−εsin⁡(x2−π/4)x4−1 dx+∫1+ε∞sin⁡(x2−π/4)x4−1 dx].\lim_{\varepsilon\to0^+}\left[ \int_0^{1-\varepsilon}\frac{\sin(x^2-\pi/4)}{x^4-1}\,dx +\int_{1+\varepsilon}^\infty\frac{\sin(x^2-\pi/4)}{x^4-1}\,dx\right].

Kai​

I.​

  1. 特異点は 1, (−1+i3)/2, (−1−i3)/2\boxed{1,\ (-1+i\sqrt3)/2,\ (-1-i\sqrt3)/2} であり、すべて1位の極である。

  2. p0n=1p_0^n=1 より

Res⁡p0fn=1np0n−1=p0n.\boxed{\operatorname{Res}_{p_0}f_n=\frac1{np_0^{n-1}}=\frac{p_0}{n}}.
  1. 円内には nn 乗根がすべて含まれ、それらの和は零である。したがって
∮Cfn(z) dz=2πin∑k=0n−1e2πik/n=0.\boxed{\oint_Cf_n(z)\,dz=\frac{2\pi i}{n}\sum_{k=0}^{n-1}e^{2\pi ik/n}=0}.

II.​

上半平面で経路を閉じ、時計回りの上半小円で z=1z=1 を避ける。大円弧の積分は零に、小円弧の積分は −iπ/3-i\pi/3 に収束する。ω=(−1+i3)/2\omega=(-1+i\sqrt3)/2 とおけば

PV⁡∫−∞∞dxx3−1−iπ3=2πiω3.\operatorname{PV}\int_{-\infty}^\infty\frac{dx}{x^3-1} -\frac{i\pi}{3}=2\pi i\frac\omega3.

よって極限は −π/3\boxed{-\pi/\sqrt3} である。

III.​

F(z)=eiz/(z4−1)F(z)=e^{iz}/(z^4-1) に対して上半平面で経路を閉じ、実軸上の極 ±1\pm1 を上側から避ける。留数は

Res⁡iF=ie−14,Res⁡1F+Res⁡−1F=ei−e−i4=isin⁡12.\operatorname{Res}_iF=\frac{ie^{-1}}4,\qquad \operatorname{Res}_1F+\operatorname{Res}_{-1}F =\frac{e^i-e^{-i}}4=\frac{i\sin1}{2}.

よって

PV⁡∫−∞∞F(x) dx=2πiRes⁡iF+iπ(Res⁡1F+Res⁡−1F)=−π2(e−1+sin⁡1).\operatorname{PV}\int_{-\infty}^\infty F(x)\,dx =2\pi i\operatorname{Res}_iF+i\pi(\operatorname{Res}_1F+\operatorname{Res}_{-1}F) =-\frac\pi2(e^{-1}+\sin1).

実部をとり、偶関数であることを用いると

−π4(e−1+sin⁡1).\boxed{-\frac\pi4(e^{-1}+\sin1)}.

IV.​

H(z)=eiz2−iπ/4/(z4−1)H(z)=e^{iz^2-i\pi/4}/(z^4-1) とおき、0≤arg⁡z≤π/40\le\arg z\le\pi/4 の扇形内で経路を閉じ、z=1z=1 を上側から避ける。扇形内部には極がなく、大円弧の積分は零に収束する。一方、回転した半直線上では

H(eiπ/4t)eiπ/4 dt=−e−t2t4+1 dtH(e^{i\pi/4}t)e^{i\pi/4}\,dt=-\frac{e^{-t^2}}{t^4+1}\,dt

は実数となる。したがって

PV⁡∫0∞H(x) dx=iπei(1−π/4)4−∫0∞e−t2t4+1 dt.\operatorname{PV}\int_0^\infty H(x)\,dx =i\pi\frac{e^{i(1-\pi/4)}}4-\int_0^\infty\frac{e^{-t^2}}{t^4+1}\,dt.

虚部をとると

π4cos⁡(1−π4)=π42(cos⁡1+sin⁡1).\boxed{\frac\pi4\cos\left(1-\frac\pi4\right) =\frac\pi{4\sqrt2}(\cos1+\sin1)}.
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