東京大学工学系研究科 2020年度数学第2問

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Miyake, 祭音Myyura

$\alpha$ を実数とし、次の行列を考える。

A=\begin{pmatrix}1&-2&-1\\-2&1&1\\-1&1&\alpha\end{pmatrix}.

I. 三つの固有値の和が $7$ となる $\alpha$ を求めよ。

II. 三つの固有値の積が $-16$ となる $\alpha$ を求めよ。

III. $\|A\|=\max_{\boldsymbol x^T\boldsymbol x=1}\boldsymbol x^TA\boldsymbol x$ と定める。 $\|A\|=4$ となる $\alpha$ を求めよ。

IV. 以下では $\alpha=4$ とする。

すべての固有値と、それぞれに対応する単位固有ベクトルを求めよ。
$\boldsymbol y^T\boldsymbol y=1$ 、 $y_1-y_2-2y_3=0$ のとき、 $\boldsymbol y^TA\boldsymbol y$ の値域を求めよ。
$\boldsymbol z^T\boldsymbol z=1$ 、 $z_1+z_2+z_3=0$ のとき、 $\boldsymbol z^TA\boldsymbol z$ の値域を求めよ。

设 $\alpha$ 为实数，

A=\begin{pmatrix}1&-2&-1\\-2&1&1\\-1&1&\alpha\end{pmatrix}.

I. 若三个特征值之和为 $7$ ，求 $\alpha$ 。

II. 若三个特征值之积为 $-16$ ，求 $\alpha$ 。

III. 定义 $\|A\|=\max_{\boldsymbol x^T\boldsymbol x=1}\boldsymbol x^TA\boldsymbol x$ 。若 $\|A\|=4$ ，求 $\alpha$ 。

IV. 以下取 $\alpha=4$ 。

求全部特征值及相应的单位特征向量。
当 $\boldsymbol y^T\boldsymbol y=1$ 、 $y_1-y_2-2y_3=0$ 时，求 $\boldsymbol y^TA\boldsymbol y$ 的值域。
当 $\boldsymbol z^T\boldsymbol z=1$ 、 $z_1+z_2+z_3=0$ 时，求 $\boldsymbol z^TA\boldsymbol z$ 的值域。

固有値の和はトレース、積は行列式に等しい。したがって

\operatorname{tr}A=2+\alpha=7\ \Longrightarrow\ \boxed{\alpha=5},

\det A=2-3\alpha=-16\ \Longrightarrow\ \boxed{\alpha=6}.

$A$ は実対称行列なので、指定された最大値は最大固有値に等しい。よって

\det(A-4I)=5\alpha-10=0.

$\alpha=2$ のとき固有値は $-1,1,4$ となり、条件を満たす。したがって $\boxed{\alpha=2}$ である。

\boxed{v_1=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix},\quad v_2=\frac1{\sqrt3}\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix},\quad v_3=\frac1{\sqrt6}\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix}}.

\boxed{-1\le\boldsymbol y^TA\boldsymbol y\le2}.

\boldsymbol z^T\boldsymbol z=2(z_1^2+z_1z_2+z_2^2),\qquad \boldsymbol z^TA\boldsymbol z=7z_1^2+4z_1z_2+3z_2^2.

極値は、次の一般化固有値方程式の2根である。

\det\left[\begin{pmatrix}7&2\\2&3\end{pmatrix} -\lambda\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\right] =3\lambda^2-16\lambda+17=0

したがって、値域は

\boxed{\frac{8-\sqrt{13}}3\le\boldsymbol z^TA\boldsymbol z\le\frac{8+\sqrt{13}}3}.