東京大学 工学系研究科 2020年度 数学 第2問

标签：

• Tokyo-University

Author

Miyake, 祭音Myyura

Description

2020年度入試問題 Exam paper 数学

题目描述

原 Description 仅提供 2020 年数学原卷链接。原卷の行列は

$$A=\begin{pmatrix} 1&-2&-1\\ -2&1&1\\ -1&1&\alpha \end{pmatrix}.$$

であり、$\alpha$ は実数である。各問の条件は次の通り：

1. 固有値の和が $7$ であるときの $\alpha$。
2. 固有値の積が $-16$ であるときの $\alpha$。
3. $\boldsymbol x^T\boldsymbol x=1$ における $\boldsymbol x^TA\boldsymbol x$ の最大値を $\lVert A\rVert$ と定め、$\lVert A\rVert=4$ であるときの $\alpha$。
4. $\alpha=4$ とし、固有値・規格化固有ベクトル、および指定された二つの平面上での二次形式の値域を求める。

Kai

I.

固有値の和はトレースに等しいので、$\alpha = 5$

II.

固有値の積は行列式に等しいので、

$$\begin{aligned} -16 &= (\alpha + 2 + 2) - (1 + 1 + 4 \alpha) \\ &= - 3 \alpha + 2 \\ \therefore \ \ \alpha &= 6 \end{aligned}$$

III.

$||A||=4$ ということは、 $A$ の最大固有値が $4$ ということである。

$A$ が固有値 $4$ を持つという条件は、

$$\begin{aligned} 0 &= \det \begin{pmatrix} 1-4 & -2 & -1 \\ -2 & 1-4 & 1 \\ -1 & 1 & \alpha-4 \end{pmatrix} \\ &= 5 \alpha - 10 \\ \therefore \ \ \alpha &= 2 \end{aligned}$$

である。

$\alpha=2$ のとき、 $A$ の固有値は $-1, 1, 4$ であるから、 これが求める条件であることがわかる。

IV.

1.

固有値は $-1, 2, 5$ であり、 それぞれに対応する規格化された固有ベクトルは、

$$\begin{aligned} \boldsymbol{v}_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \ \ \boldsymbol{v}_2 = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} , \ \ \boldsymbol{v}_3 = \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

である。（ $-1$ 倍の不定性がある。）

2.

与えられたベクトル $\boldsymbol{y}$ は $\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2$ が張る平面上にあるので、 $\boldsymbol{y}^T A \boldsymbol{y}$ の値域は $-1$ 以上 $2$ 以下の実数である。

3.

$z_3=-z_1-z_2$ とおくと、

$$\boldsymbol z^T\boldsymbol z =2(z_1^2+z_1z_2+z_2^2), \qquad \boldsymbol z^TA\boldsymbol z =6z_1^2+10z_1z_2+7z_2^2.$$

この平面上の固有値は

$$\det\left( \begin{pmatrix}6&5\\5&7\end{pmatrix} -\lambda\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix} \right) =3\lambda^2-16\lambda+17=0$$

の二根である。したがって、値域は

$$\frac{8-\sqrt{13}}{3} \le \boldsymbol z^TA\boldsymbol z \le \frac{8+\sqrt{13}}{3}$$

である。