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東京大学 工学系研究科 2020年度 数学 第2問

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Author​

Miyake

Description​

2020年度入試問題 Exam paper 数学

题目描述​

原 Description 仅提供 2020 年数学原卷链接，具体题干缺失。根据本地 Kai，只能确认这是一组含实参数 α\alpha 的三阶实对称矩阵问题；Kai 在第三问中明确写出的矩阵为

A=(1−2−1−211−11α).A=\begin{pmatrix} 1&-2&-1\\ -2&1&1\\ -1&1&\alpha \end{pmatrix}.

本地解答可确认：

  1. 第一问利用“特征值之和等于迹”确定参数，解答所得 α=5\alpha=5；但原题给定的特征值和未保存在本地。
  2. 第二问利用“特征值之积等于行列式”，并在解答中使用该乘积为 −16-16，所得 α=6\alpha=6。
  3. 第三问在矩阵范数为 44 的条件下令 44 为最大绝对值特征值，求得 α=2\alpha=2，并核对此时特征值为 −1,1,4-1,1,4。
  4. 第四问第一小问的解答给出特征值 −1,2,5-1,2,5 及一组规范正交特征向量；第二小问确认向量 y\boldsymbol y 位于前两个特征向量张成的平面，并求 yTAy\boldsymbol y^TA\boldsymbol y 的值域为 [−1,2][-1,2]。原题对该矩阵情形及 y\boldsymbol y 的完整约束均缺失，第四问第三小问在 Kai 中也是空白，无法唯一恢复。

Kai​

I.​

固有値の和はトレースに等しいので、α=5\alpha = 5

II.​

固有値の積は行列式に等しいので、

−16=(α+2+2)−(1+1+4α)=−3α+2∴  α=6\begin{aligned} -16 &= (\alpha + 2 + 2) - (1 + 1 + 4 \alpha) \\ &= - 3 \alpha + 2 \\ \therefore \ \ \alpha &= 6 \end{aligned}

III.​

∣∣A∣∣=4||A||=4 ということは、 AA の最大固有値が 44 ということである。

AA が固有値 44 を持つという条件は、

0=det⁡(1−4−2−1−21−41−11α−4)=5α−10∴  α=2\begin{aligned} 0 &= \det \begin{pmatrix} 1-4 & -2 & -1 \\ -2 & 1-4 & 1 \\ -1 & 1 & \alpha-4 \end{pmatrix} \\ &= 5 \alpha - 10 \\ \therefore \ \ \alpha &= 2 \end{aligned}

である。

α=2\alpha=2 のとき、 AA の固有値は −1,1,4-1, 1, 4 であるから、 これが求める条件であることがわかる。

IV.​

1.​

固有値は −1,2,5-1, 2, 5 であり、 それぞれに対応する規格化された固有ベクトルは、

v1=12(110),  v2=13(1−11),  v3=16(−112)\begin{aligned} \boldsymbol{v}_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \ \ \boldsymbol{v}_2 = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} , \ \ \boldsymbol{v}_3 = \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{aligned}

である。（ −1-1 倍の不定性がある。）

2.​

与えられたベクトル y\boldsymbol{y} は v1,v2\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2 が張る平面上にあるので、 yTAy\boldsymbol{y}^T A \boldsymbol{y} の値域は −1-1 以上 22 以下の実数である。

3.​

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