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東京大学 工学系研究科 2018年8月実施 物理学 第3問

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

I​

nn mol の理想気体について、第一法則を d′Q+d′W=dUd'Q+d'W=dU と書く。d′Qd'Q は気体が受け取る熱、d′Wd'W は気体に加えられる仕事である。圧力、体積、温度を P,V,TP,V,T、気体定数を RR、一定のモル定積比熱を CV=(1/n)(∂U/∂T)VC_V=(1/n)(\partial U/\partial T)_V とする。

  1. 可逆断熱過程について nCVdT+P dV=0nC_VdT+P\,dV=0 を示せ。
  2. 一定のモル定圧比熱を CPC_P、γ=CP/CV\gamma=C_P/C_V とし、CP−CV=RC_P-C_V=R を用いて TVγ−1=一定TV^{\gamma-1}=\text{一定} を導け。

II​

断面積 ZZ のシリンダーとピストンに囲まれた nn mol の理想気体が、A→B 等温膨張、B→C 断熱膨張、C→D 等温圧縮、D→A 断熱圧縮のサイクルを行う。各状態の体積は V1,V2,V3,V4V_1,V_2,V_3,V_4、等温枝の温度はそれぞれ T1>T2T_1>T_2 である。

C→D だけで一定の大きさ ff の摩擦力がピストンに働き、摩擦で発生する熱はすべて気体に入る。他の過程に摩擦はない。

  1. A→B で外界から吸収する熱量 Q1Q_1 を求めよ。
  2. C→D で外界から受け取る熱量 Q2Q_2 を求めよ。放熱の場合は負とする。
  3. サイクルの効率 η=(Q1+Q2)/Q1\eta=(Q_1+Q_2)/Q_1 を n,R,f,Z,T1,T2,V3,V4n,R,f,Z,T_1,T_2,V_3,V_4 で表せ。

摩擦を伴うピストンと熱サイクル

III​

可逆的に放電する電池を考える。体積変化は無視し、放電電気量が dqdq 増す間に起電力 EE の電池がする仕事を E dqE\,dq とする。第一法則は dU=T dS−E dqdU=T\,dS-E\,dq、ヘルムホルツ自由エネルギーは F=U−TSF=U-TS である。

  1. FF の全微分から E=−(∂F/∂q)TE=-(\partial F/\partial q)_T、S=−(∂F/∂T)qS=-(\partial F/\partial T)_q を示せ。
  2. (∂U/∂q)T=−E+T(∂E/∂T)q(\partial U/\partial q)_T=-E+T(\partial E/\partial T)_q を示せ。
  3. 起電力が E=0.49+0.0002T VE=0.49+0.0002T\,\mathrm V の電池を、T=300 KT=300\,\mathrm K に保って 200 mA200\,\mathrm{mA} で 10 s10\,\mathrm s 放電させる。この間に電池が吸収する熱量を求めよ。放電電気量は dq=Itdq=It とし、この間の温度・起電力の変化を無視する。

题目描述​

I. 对 nn mol 理想气体，第一定律写为 d′Q+d′W=dUd'Q+d'W=dU，热量和外界对气体做功均以输入为正。压强、体积、温度为 P,V,TP,V,T，气体常数为 RR，摩尔定容热容 CV=(1/n)(∂U/∂T)VC_V=(1/n)(\partial U/\partial T)_V 为常数。

  1. 证明可逆绝热过程中 nCVdT+P dV=0nC_VdT+P\,dV=0。
  2. 摩尔定压热容 CPC_P 也恒定，令 γ=CP/CV\gamma=C_P/C_V，利用 CP−CV=RC_P-C_V=R 推导 TVγ−1TV^{\gamma-1} 为常量。

II. 横截面积为 ZZ 的气缸内有 nn mol 理想气体。依次经历 A→B 等温膨胀、B→C 绝热膨胀、C→D 等温压缩、D→A 绝热压缩；各状态体积为 V1,V2,V3,V4V_1,V_2,V_3,V_4，两条等温线温度为 T1>T2T_1>T_2。只有 C→D 存在大小恒为 ff 的活塞摩擦力，摩擦热全部进入气体，其余过程无摩擦。

  1. 求 A→B 从外界吸收的热量 Q1Q_1。
  2. 求 C→D 从外界吸收的热量 Q2Q_2，放热取负。
  3. 用 n,R,f,Z,T1,T2,V3,V4n,R,f,Z,T_1,T_2,V_3,V_4 表示循环效率 η=(Q1+Q2)/Q1\eta=(Q_1+Q_2)/Q_1。

III. 电池可逆放电，忽略体积变化。放出电量增加 dqdq 时，电动势为 EE 的电池对外做功 E dqE\,dq，第一定律为 dU=T dS−E dqdU=T\,dS-E\,dq，亥姆霍兹自由能 F=U−TSF=U-TS。

  1. 从 dFdF 证明 E=−(∂F/∂q)TE=-(\partial F/\partial q)_T、S=−(∂F/∂T)qS=-(\partial F/\partial T)_q。
  2. 证明 (∂U/∂q)T=−E+T(∂E/∂T)q(\partial U/\partial q)_T=-E+T(\partial E/\partial T)_q。
  3. 电动势为 E=0.49+0.0002T VE=0.49+0.0002T\,\mathrm V。在 300 K300\,\mathrm K 下以 200 mA200\,\mathrm{mA} 放电 10 s10\,\mathrm s，求电池吸收的热量。放出电量为 dq=Itdq=It，忽略这段时间内温度和电动势的变化。

Kai​

I​

可逆断熱では d′Q=0d'Q=0、d′W=−P dVd'W=-P\,dV、dU=nCVdTdU=nC_VdT。よって

nCVdT+P dV=0.\boxed{nC_VdT+P\,dV=0}.

P=nRT/VP=nRT/V を代入して積分すると

dTT+RCVdVV=0,TVγ−1=一定.\frac{dT}{T}+\frac R{C_V}\frac{dV}{V}=0, \qquad \boxed{TV^{\gamma-1}=\text{一定}}.

II​

II.1​

等温では ΔU=0\Delta U=0 だから

Q1=∫V1V2nRT1V dV=nRT1log⁡V2V1.\boxed{Q_1=\int_{V_1}^{V_2}\frac{nRT_1}{V}\,dV =nRT_1\log\frac{V_2}{V_1}}.

II.2​

C→D のピストン移動距離は (V3−V4)/Z(V_3-V_4)/Z で、摩擦による入熱は f(V3−V4)/Zf(V_3-V_4)/Z。気体の第一法則は

0=Q2+f(V3−V4)Z−∫V3V4P dV.0=Q_2+\frac{f(V_3-V_4)}Z-\int_{V_3}^{V_4}P\,dV.

したがって

Q2=nRT2log⁡V4V3−f(V3−V4)Z.\boxed{Q_2=nRT_2\log\frac{V_4}{V_3}-\frac{f(V_3-V_4)}Z}.

II.3​

二つの断熱枝から V2/V1=V3/V4V_2/V_1=V_3/V_4。外部への正味仕事は Q1+Q2Q_1+Q_2 なので

η=1+Q2Q1=1−T2T1−f(V3−V4)ZnRT1log⁡(V3/V4).\boxed{\eta=1+\frac{Q_2}{Q_1} =1-\frac{T_2}{T_1}-\frac{f(V_3-V_4)}{ZnRT_1\log(V_3/V_4)}}.

摩擦がない場合のカルノー効率から、摩擦損失に対応する項だけ低下する。

III​

III.1​

dU=T dS−E dqdU=T\,dS-E\,dq より

dF=−S dT−E dq,S=−(∂F∂T)q,E=−(∂F∂q)T.\boxed{dF=-S\,dT-E\,dq},\qquad \boxed{S=-\left(\frac{\partial F}{\partial T}\right)_q},\qquad \boxed{E=-\left(\frac{\partial F}{\partial q}\right)_T}.

III.2​

混合偏微分の交換から (∂S/∂q)T=(∂E/∂T)q(\partial S/\partial q)_T=(\partial E/\partial T)_q。したがって

(∂U∂q)T=−E+T(∂E∂T)q.\boxed{\left(\frac{\partial U}{\partial q}\right)_T =-E+T\left(\frac{\partial E}{\partial T}\right)_q}.

III.3​

Δq=0.200×10=2.00 C\Delta q=0.200\times10=2.00\,\mathrm C。可逆・等温放電の吸熱量は

Q=TΔS=T(∂E∂T)qΔq=300×0.0002×2.00=0.12 J.\boxed{Q=T\Delta S =T\left(\frac{\partial E}{\partial T}\right)_q\Delta q =300\times0.0002\times2.00=0.12\,\mathrm J}.
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