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東京大学 工学系研究科 2018年8月実施 物理学 第1問

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

I​

半径 aa、質量 MM、密度が一様な滑車が、固定点 O のまわりで摩擦なく回転する。糸をかけ、両端に質量 m1,m2 (m2>m1)m_1,m_2\ (m_2>m_1) のおもり 1、2 をつるし、静止状態から静かに放す。糸の質量、太さ、伸び、おもりの大きさは無視し、滑車と糸の間に滑りはない。重力加速度を gg、鉛直上向きを yy の正方向とする。

  1. 滑車の O のまわりの慣性モーメントを導出過程とともに求めよ。
  2. 放した時刻を t=0t=0 として、おもり 1 の yy 方向の速度を求めよ。

II​

質量 MM、外径 2a2a、内径 aa の一様な中空円筒が中心軸のまわりに角速度 ω0\omega_0 で時計回りに回転している。これを粗い水平面に静かに置く。動摩擦係数を μ\mu、重力加速度を gg とする。滑らずに転がるときのエネルギー損失は無視できる。

  1. 円筒の中心軸のまわりの慣性モーメントを導出過程とともに求めよ。
  2. 置いた瞬間を t=0t=0 として、滑りながら転がる間の重心速度と重心のまわりの角速度を求めよ。
  3. 滑らずに転がり始めるまでの時間 t1t_1 と移動距離 x1x_1 を求めよ。
  4. x1x_1 より十分遠方に、水平面となす角 θ\theta の粗い斜面がある。円筒が滑らずに転がって登れる最大の高さを求めよ。θ\theta は十分小さく、水平面から斜面へ接触を保ったまま移れるとする。

慣性を持つ滑車と、回転する中空円筒

题目描述​

I. 半径为 aa、质量为 MM、密度均匀的滑轮可绕固定点 O 无摩擦转动。将质量分别为 m1,m2 (m2>m1)m_1,m_2\ (m_2>m_1) 的重物 1、2 用跨过滑轮的细绳悬挂，从静止状态释放。忽略绳的质量、粗细和伸长以及重物尺寸，绳与滑轮之间无滑动。重力加速度为 gg，竖直向上为 yy 正方向。

  1. 求滑轮绕 O 的转动惯量，写出推导过程。
  2. 以释放时刻为 t=0t=0，求重物 1 沿 yy 方向的速度。

II. 质量 MM、外径 2a2a、内径 aa 的均匀空心圆柱绕中心轴以角速度 ω0\omega_0 顺时针转动，将其轻轻放在粗糙水平面上。动摩擦系数为 μ\mu，重力加速度为 gg。无滑动滚动时的能量损耗可忽略。

  1. 求绕中心轴的转动惯量，写出推导过程。
  2. 以放到平面上的时刻为 t=0t=0，求边滚边滑阶段的质心速度及绕质心的角速度。
  3. 求开始无滑动滚动所需的时间 t1t_1 和距离 x1x_1。
  4. 在远大于 x1x_1 的距离处有与水平面夹角为 θ\theta 的粗糙斜坡，求圆柱无滑动滚上斜坡所能达到的最大高度。θ\theta 足够小，圆柱从平面转入斜坡时可保持接触。

Kai​

I​

  1. 滑車の面密度は M/(πa2)M/(\pi a^2)。半径 rr の同心円環に分けて、
I=∫0ar2Mπa2 2πr dr=12Ma2.\boxed{I=\int_0^a r^2\frac{M}{\pi a^2}\,2\pi r\,dr =\frac12Ma^2}.
  1. おもり 1 の上向き加速度を AA、両側の張力を T1,T2T_1,T_2 とする。
T1−m1g=m1A,m2g−T2=m2A,(T2−T1)a=IAa.T_1-m_1g=m_1A,\quad m_2g-T_2=m_2A,\quad (T_2-T_1)a=I\frac Aa.

消去して積分すると、

v1y(t)=(m2−m1)gm1+m2+M/2 t.\boxed{v_{1y}(t)=\frac{(m_2-m_1)g}{m_1+m_2+M/2}\,t}.

II​

  1. 内半径は a/2a/2 である。円筒の長さ方向を積分した面密度を用いれば、
I=Mπ[a2−(a/2)2]∫a/2a2πr3 dr=58Ma2.I=\frac{M}{\pi[a^2-(a/2)^2]} \int_{a/2}^{a}2\pi r^3\,dr =\boxed{\frac58Ma^2}.
  1. 重心速度は右向きを正、角速度は時計回りを正とする。接点が床に対して左へ滑るので、摩擦は右向きに作用する。
Mv˙=μMg,Iω˙=−μMga.M\dot v=\mu Mg,\qquad I\dot\omega=-\mu Mga.

初期条件 v(0)=0v(0)=0, ω(0)=ω0\omega(0)=\omega_0 より、

v(t)=μgt,ω(t)=ω0−8μg5at(0≤t≤t1).\boxed{v(t)=\mu gt},\qquad \boxed{\omega(t)=\omega_0-\frac{8\mu g}{5a}t} \quad(0\le t\le t_1).
  1. v(t1)=aω(t1)v(t_1)=a\omega(t_1) より、
t1=5aω013μg,x1=12μgt12=25a2ω02338μg.\boxed{t_1=\frac{5a\omega_0}{13\mu g}},\qquad \boxed{x_1=\frac12\mu gt_1^2 =\frac{25a^2\omega_0^2}{338\mu g}}.

以後は v1=5aω0/13v_1=5a\omega_0/13, ω1=5ω0/13\omega_1=5\omega_0/13 で等速回転・並進する。

  1. 滑りのない斜面上では静止摩擦は仕事をしない。最高点では v=ω=0v=\omega=0 だから、重心の上昇高さ hh は
Mgh=12Mv12+12Iω12,h=25a2ω02208g.Mgh=\frac12Mv_1^2+\frac12I\omega_1^2, \qquad \boxed{h=\frac{25a^2\omega_0^2}{208g}}.
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