跳到主要内容

東京大学 工学系研究科 2019年度 数学 第6問

标签：

Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

X1,…,XnX_1,\ldots,X_n は 0,10,1 を値とする確率変数とし、n≥4n\ge4 とする。

I.​

各 XkX_k は独立で、P(Xk=1)=pP(X_k=1)=p、P(Xk=0)=1−pP(X_k=0)=1-p とする。

  1. ∑k=1nXk\sum_{k=1}^nX_k の期待値と分散を求めよ。
  2. Xn⋯X2X1X_n\cdots X_2X_1 を nn 桁の2進整数 YY とみなす。YY の期待値と分散を求めよ。

II.​

次に XkX_k を順に生成する。P(X1=1)=pP(X_1=1)=p とし、XkX_k が直前の Xk−1X_{k-1} と同じ値をとる確率は qq、異なる値をとる確率は 1−q1-q とする。

  1. rk=P(Xk=1)r_k=P(X_k=1) の漸化式を求め、rkr_k を p,q,kp,q,k で表せ。
  2. P(X1=1,X2=0,X3=1,X4=0)P(X_1=1,X_2=0,X_3=1,X_4=0) を求めよ。
  3. P(X3=1∣X1=0,X2=1,X4=1)P(X_3=1\mid X_1=0,X_2=1,X_4=1) を求めよ。

题目描述​

X1,…,XnX_1,\ldots,X_n 取值为 0,10,1，n≥4n\ge4。

I.​

假设各 XkX_k 相互独立，且 P(Xk=1)=pP(X_k=1)=p、P(Xk=0)=1−pP(X_k=0)=1-p。

  1. 求 ∑k=1nXk\sum_{k=1}^nX_k 的期望与方差。
  2. 将 Xn⋯X2X1X_n\cdots X_2X_1 视为 nn 位二进制整数 YY，求 YY 的期望与方差。
II.​

现在依次生成 XkX_k：P(X1=1)=pP(X_1=1)=p，且每次 XkX_k 与 Xk−1X_{k-1} 相同的概率为 qq，不同的概率为 1−q1-q。

  1. 令 rk=P(Xk=1)r_k=P(X_k=1)，求递推关系及 rkr_k 关于 p,q,kp,q,k 的表达式。
  2. 求 P(X1=1,X2=0,X3=1,X4=0)P(X_1=1,X_2=0,X_3=1,X_4=0)。
  3. 求 P(X3=1∣X1=0,X2=1,X4=1)P(X_3=1\mid X_1=0,X_2=1,X_4=1)。

Kai​

I.​

  1. 独立性より
E[∑k=1nXk]=np,Var⁡(∑k=1nXk)=np(1−p).\boxed{E\left[\sum_{k=1}^nX_k\right]=np,\qquad \operatorname{Var}\left(\sum_{k=1}^nX_k\right)=np(1-p)}.
  1. Y=∑k=1n2k−1XkY=\sum_{k=1}^n2^{k-1}X_k より
E[Y]=p(2n−1),Var⁡(Y)=p(1−p)3(4n−1).\boxed{E[Y]=p(2^n-1),\qquad \operatorname{Var}(Y)=\frac{p(1-p)}3(4^n-1)}.

II.​

  1. 全確率の公式から
rk+1=qrk+(1−q)(1−rk)=(2q−1)rk+1−q,r1=p.r_{k+1}=qr_k+(1-q)(1-r_k)=(2q-1)r_k+1-q,\qquad r_1=p.

したがって

rk=12+(p−12)(2q−1)k−1.\boxed{r_k=\frac12+\left(p-\frac12\right)(2q-1)^{k-1}}.

  1. 指定された列では3回値が変わるので、確率は p(1−q)3\boxed{p(1-q)^3} である。

  2. 条件事象に含まれる列は 01110111 と 01010101 の二つである。したがって

P(X3=1∣X1=0,X2=1,X4=1)=(1−p)(1−q)q2(1−p)(1−q)[q2+(1−q)2]=q2q2+(1−q)2.\boxed{P(X_3=1\mid X_1=0,X_2=1,X_4=1) =\frac{(1-p)(1-q)q^2}{(1-p)(1-q)[q^2+(1-q)^2]} =\frac{q^2}{q^2+(1-q)^2}}.

この条件付き確率は p<1,q<1p<1,q<1 のとき定義される。p=1p=1 または q=1q=1 では条件事象の確率が零になる。

本页目录