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東京大学 工学系研究科 2019年度 数学 第5問

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

問題​

ff は連続微分可能で、f(x)→0f(x)\to0（∣x∣→∞|x|\to\infty）とする。f,f′,xff,f',xf は絶対可積分であり、Fourier 変換を次のように定義する。

f^(u)=F[f](u)=12π∫−∞∞f(x)e−iux dx.\widehat f(u)=\mathcal F[f](u)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-iux}\,dx.

I. F[f′]\mathcal F[f'] を u,f^u,\widehat f で表せ。

II. df^/dud\widehat f/du を F[xf]\mathcal F[xf] で表せ。

III. f=e−ax2f=e^{-ax^2}、a>0a>0 とする。f′=−2axff'=-2axf を Fourier 変換して f^\widehat f の1階微分方程式を導き、解け。定数の決定には ∫−∞∞e−ax2dx=π/a\int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2}dx=\sqrt{\pi/a} を用いてよい。

IV. ht=hxxh_t=h_{xx}（x∈R,t>0x\in\mathbb R,t>0）の初期条件を h(x,0)=e−ax2h(x,0)=e^{-ax^2} とする。

  1. xx について Fourier 変換し、h^(u,t)\widehat h(u,t) が満たす tt の微分方程式を求めよ。
  2. h^(u,t)\widehat h(u,t) を求めよ。
  3. 逆 Fourier 変換によって h(x,t)h(x,t) を求めよ。

V. 連続関数 gg は無限遠で零に収束し、絶対可積分であるとする。畳み込みを次のように定義する。 (f∗g)(x)=∫−∞∞f(y)g(x−y) dy\displaystyle(f*g)(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f(y)g(x-y)\,dy。

  1. F[f∗g]\mathcal F[f*g] を f^,g^\widehat f,\widehat g で表せ。
  2. 前問を用いて、ht=hxxh_t=h_{xx}、h(x,0)=g(x)h(x,0)=g(x) の解を積分表示せよ。ただし t>0t>0 とする。

题目描述​

设 ff 连续可微，f(x)→0f(x)\to0（∣x∣→∞|x|\to\infty），且 f,f′,xff,f',xf 均绝对可积。采用 Fourier 变换

f^(u)=F[f](u)=12π∫−∞∞f(x)e−iux dx.\widehat f(u)=\mathcal F[f](u)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-iux}\,dx.

I. 用 u,f^u,\widehat f 表示 F[f′]\mathcal F[f']。

II. 用 F[xf]\mathcal F[xf] 表示 df^/dud\widehat f/du。

III. 设 f=e−ax2f=e^{-ax^2}，a>0a>0。对 f′=−2axff'=-2axf 作 Fourier 变换，求 f^\widehat f 满足的一阶微分方程并求解。可用 ∫−∞∞e−ax2dx=π/a\int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2}dx=\sqrt{\pi/a} 确定常数。

IV. 对 ht=hxxh_t=h_{xx}（x∈R,t>0x\in\mathbb R,t>0），初值为 h(x,0)=e−ax2h(x,0)=e^{-ax^2}：

  1. 对 xx 作 Fourier 变换，求 h^(u,t)\widehat h(u,t) 满足的关于 tt 的微分方程。
  2. 求 h^(u,t)\widehat h(u,t)。
  3. 作逆变换，求 h(x,t)h(x,t)。

V. 连续函数 gg 在无穷远趋于零且绝对可积，定义 (f∗g)(x)=∫−∞∞f(y)g(x−y) dy\displaystyle(f*g)(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f(y)g(x-y)\,dy。

  1. 用 f^,g^\widehat f,\widehat g 表示 F[f∗g]\mathcal F[f*g]。
  2. 利用前问求 ht=hxxh_t=h_{xx}、h(x,0)=g(x)h(x,0)=g(x) 的解的积分表示（t>0t>0）。

Kai​

I–II.​

部分積分および積分記号下の微分により、それぞれ

F[f′](u)=iuf^(u),f^′(u)=−iF[xf](u).\boxed{\mathcal F[f'](u)=iu\widehat f(u)},\qquad \boxed{\widehat f'(u)=-i\mathcal F[xf](u)}.

III.​

f′=−2axff'=-2axf を変換すると iuf^=−2aif^′iu\widehat f=-2ai\widehat f'、すなわち

f^′=−u2af^.\widehat f'=-\frac{u}{2a}\widehat f.

f^(0)=1/2a\widehat f(0)=1/\sqrt{2a} より

f^(u)=12ae−u2/(4a).\boxed{\widehat f(u)=\frac1{\sqrt{2a}}e^{-u^2/(4a)}}.

IV.​

  1. 変換後の方程式は ∂th^=−u2h^\boxed{\partial_t\widehat h=-u^2\widehat h} である。

  2. 初期条件を用いると

h^(u,t)=12ae−(t+1/(4a))u2.\boxed{\widehat h(u,t)=\frac1{\sqrt{2a}}e^{-(t+1/(4a))u^2}}.
  1. III の Gauss 関数の変換公式によって逆変換すると
h(x,t)=11+4atexp⁡(−ax21+4at).\boxed{h(x,t)=\frac1{\sqrt{1+4at}}\exp\left(-\frac{ax^2}{1+4at}\right)}.

V.​

  1. z=x−yz=x-y とおき、積分の順序を交換すると
F[f∗g](u)=12π(∫Rf(y)e−iuydy)(∫Rg(z)e−iuzdz)=2πf^(u)g^(u).\mathcal F[f*g](u)=\frac1{\sqrt{2\pi}} \left(\int_{\mathbb R}f(y)e^{-iuy}dy\right) \left(\int_{\mathbb R}g(z)e^{-iuz}dz\right) =\boxed{\sqrt{2\pi}\widehat f(u)\widehat g(u)}.
  1. この場合は h^=e−tu2g^\widehat h=e^{-tu^2}\widehat g となる。ここで
F[14πte−x2/(4t)]=12πe−tu2,\mathcal F\left[\frac1{\sqrt{4\pi t}}e^{-x^2/(4t)}\right] =\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-tu^2},

畳み込み定理を用いて

h(x,t)=14πt∫−∞∞e−(x−y)2/(4t)g(y) dy,t>0.\boxed{h(x,t)=\frac1{\sqrt{4\pi t}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x-y)^2/(4t)}g(y)\,dy},\qquad t>0.
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