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東京大学 工学系研究科 2019年度 数学 第3問

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

I.​

  1. z5=1z^5=1 のすべての解を極形式で表し、複素平面上に図示せよ。
  2. 写像 f(z)=eizf(z)=e^{iz} による領域 D={z:Re⁡z≥0, 0≤Im⁡z≤1}D=\{z:\operatorname{Re}z\ge0,\ 0\le\operatorname{Im}z\le1\} の像を複素平面上に図示せよ。
  3. z2e1/zz^2e^{1/z} の z=0z=0 における留数を求めよ。

II.​

a>0a>0、f(z)=(log⁡z)2(z+a)2\displaystyle f(z)=\frac{(\log z)^2}{(z+a)^2}、R>a>r>0R>a>r>0 とする。C=C++CR+C−+CrC=C_++C_R+C_-+C_r は正の実軸を切断とする鍵穴型の積分経路であり、上側の C+C_+ は rr から RR、外円 CRC_R は反時計回り、下側の C−C_- は RR から rr、内円 CrC_r は時計回りに進む。C+C_+ 上で log⁡z\log z は主値をとる。

  1. 留数定理を用いて ∮Cf(z) dz\displaystyle\oint_C f(z)\,dz を求めよ。
  2. 前問を用いて ∫0∞log⁡x(x+a)2 dx\displaystyle\int_0^\infty\frac{\log x}{(x+a)^2}\,dx を求めよ。

题目描述​

I.​
  1. 用极坐标形式求 z5=1z^5=1 的全部解，并在复平面上画出。
  2. 映射 f(z)=eizf(z)=e^{iz} 下，画出区域 D={z:Re⁡z≥0, 0≤Im⁡z≤1}D=\{z:\operatorname{Re}z\ge0,\ 0\le\operatorname{Im}z\le1\} 的像。
  3. 求 z2e1/zz^2e^{1/z} 在 z=0z=0 的留数。
II.​

设 a>0a>0，f(z)=(log⁡z)2(z+a)2\displaystyle f(z)=\frac{(\log z)^2}{(z+a)^2}，R>a>r>0R>a>r>0。积分路径 C=C++CR+C−+CrC=C_++C_R+C_-+C_r 为绕正实轴割线的钥匙孔路径：上岸 C+C_+ 从 rr 到 RR，外圆 CRC_R 逆时针，下岸 C−C_- 从 RR 到 rr，内圆 CrC_r 顺时针；在 C+C_+ 上 log⁡z\log z 取主值。

  1. 用留数定理计算 ∮Cf(z) dz\displaystyle\oint_C f(z)\,dz。
  2. 利用前问计算 ∫0∞log⁡x(x+a)2 dx\displaystyle\int_0^\infty\frac{\log x}{(x+a)^2}\,dx。

Kai​

I.​

  1. すべての解は
zk=e2πik/5,k=0,1,2,3,4,\boxed{z_k=e^{2\pi ik/5},\quad k=0,1,2,3,4},

すなわち、単位円上で 11 を一つの頂点とする正五角形の頂点である。

  1. z=x+iyz=x+iy と書けば eiz=e−yeixe^{iz}=e^{-y}e^{ix} である。x≥0x\ge0 により任意の偏角が得られるので、像は閉円環
e−1≤∣w∣≤1.\boxed{e^{-1}\le|w|\le1}.
  1. Laurent 展開は
z2e1/z=z2+z+12+16z+⋯ ,z^2e^{1/z}=z^2+z+\frac12+\frac1{6z}+\cdots,

したがって留数は 1/6\boxed{1/6} である。

単位根、円環および鍵穴型積分経路

II.​

  1. 切断平面上で 0<arg⁡z<2π0<\arg z<2\pi ととる。唯一の極は z=−az=-a であり、
Res⁡−af=ddz(log⁡z)2∣z=−a=−2a(log⁡a+iπ).\operatorname{Res}_{-a}f= \left.\frac{d}{dz}(\log z)^2\right|_{z=-a} =-\frac2a(\log a+i\pi).

したがって

∮Cf(z) dz=4π2a−4πialog⁡a.\boxed{\oint_C f(z)\,dz=\frac{4\pi^2}{a}-\frac{4\pi i}{a}\log a}.
  1. r→0+r\to0^+、R→∞R\to\infty のとき、両円弧の積分はそれぞれ O(rlog⁡2r)O(r\log^2r)、O(log⁡2R/R)O(\log^2R/R) で零に収束する。切断の両側の対数値は 2πi2\pi i だけ異なるので、
∮Cf(z) dz⟶∫0∞(log⁡x)2−(log⁡x+2πi)2(x+a)2 dx=4π2a−4πi∫0∞log⁡x(x+a)2 dx.\oint_C f(z)\,dz\longrightarrow \int_0^\infty\frac{(\log x)^2-(\log x+2\pi i)^2}{(x+a)^2}\,dx =\frac{4\pi^2}{a}-4\pi i\int_0^\infty\frac{\log x}{(x+a)^2}\,dx.

比較して

∫0∞log⁡x(x+a)2 dx=log⁡aa.\boxed{\int_0^\infty\frac{\log x}{(x+a)^2}\,dx=\frac{\log a}{a}}.
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