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東京大学 工学系研究科 2017年8月実施 物理学 第4問

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

I​

光を一つのスリットに通し、さらに間隔 dd の二重スリットを通して、距離 LL のスクリーンに投影する。スリット幅は波長 λ\lambda より十分小さく、LL は d,λd,\lambda より十分大きいとする。

  1. 波長 λ\lambda の可視単色光について、スクリーン上に現れる干渉縞の間隔を λ,d,L\lambda,d,L で表せ。
  2. 単色光の場合と白色光の場合について、干渉縞の様子を説明せよ。

二重スリットとスクリーンの配置

II​

電子の運動量の大きさを pp とすると、波長は λ=h/p\lambda=h/p である。質量 mm、電荷の大きさ ee の電子を、静止状態から電位差 VV で加速する。相対論的効果は無視する。

  1. 電子の波長を h,m,e,Vh,m,e,V で表せ。
  2. 波長を 2.0 A˚2.0\,\text{Å} とするために必要な VV を求めよ。h=6.6×10−34 J sh=6.6\times10^{-34}\,\mathrm{J\,s}、m=9.1×10−31 kgm=9.1\times10^{-31}\,\mathrm{kg}、e=1.6×10−19 Ce=1.6\times10^{-19}\,\mathrm C とする。

III​

慣性系 S′ が S に対して xx 軸の正方向に速度 vv で動く。対応する座標軸は平行で、原点が一致する瞬間を両系で t=t′=0t=t'=0 とする。座標変換を x′=α(x−vt)x'=\alpha(x-vt)、y′=yy'=y、z′=zz'=z とし、逆変換を x=α(x′+vt′)x=\alpha(x'+vt') とする。α>0\alpha>0 とする。

  1. 原点から xx 軸正方向へ発した光の速度が両系で cc となることから、α\alpha を求めよ。
  2. 静止質量 m0m_0、静止エネルギー m0c2m_0c^2 の電子を静止状態から電位差 VV で加速するとき、波長と速度を相対論的に求めよ。運動量 p=αm0vp=\alpha m_0v、エネルギー EE の関係 E2=m02c4+p2c2E^2=m_0^2c^4+p^2c^2 を用いてよい。

题目描述​

I. 光先通过单缝，再通过间距为 dd 的双缝，在距离 LL 的屏上形成干涉条纹。缝宽远小于波长 λ\lambda，L≫d,λL\gg d,\lambda。

  1. 对波长为 λ\lambda 的可见单色光，用 λ,d,L\lambda,d,L 求条纹间距。
  2. 描述单色光和白光的条纹特征。

II. 电子德布罗意波长为 λ=h/p\lambda=h/p。质量为 mm、电荷量绝对值为 ee 的电子从静止经电势差 VV 加速，忽略相对论效应。

  1. 用 h,m,e,Vh,m,e,V 求波长。
  2. 求获得 2.0 A˚2.0\,\text{Å} 波长所需电压。取 h=6.6×10−34 J sh=6.6\times10^{-34}\,\mathrm{J\,s}、m=9.1×10−31 kgm=9.1\times10^{-31}\,\mathrm{kg}、e=1.6×10−19 Ce=1.6\times10^{-19}\,\mathrm C。

III. S′ 相对 S 以速度 vv 沿 +x+x 方向运动，对应坐标轴平行，以两系原点重合时为各自的 t=t′=0t=t'=0。设 x′=α(x−vt)x'=\alpha(x-vt)、y′=yy'=y、z′=zz'=z，逆变换为 x=α(x′+vt′)x=\alpha(x'+vt')，α>0\alpha>0。

  1. 利用沿 +x+x 方向传播的光在两系中速度均为 cc，求 α\alpha。
  2. 静止质量为 m0m_0、静止能量为 m0c2m_0c^2 的电子从静止经电势差 VV 加速，求其相对论波长和速度。可用 p=αm0vp=\alpha m_0v、E2=m02c4+p2c2E^2=m_0^2c^4+p^2c^2。

Kai​

I​

I.1​

スクリーン中央からの距離を XX とすると、近軸領域の光路差は dsin⁡θ≃dX/Ld\sin\theta\simeq dX/L。明線の条件は dX/L=jλdX/L=j\lambda（j∈Zj\in\mathbb Z）だから

ΔX=λLd.\boxed{\Delta X=\frac{\lambda L}{d}}.

I.2​

単色光では同じ色の明線と暗線がほぼ等間隔に並ぶ。白色光では中央で全波長が強め合うため白い明線となり、その両側に色のついた縞が現れる。同じ次数なら波長の短い紫側が内側、赤側が外側であり、遠方では異なる次数・波長の縞が重なって不鮮明になる。

II​

II.1–II.2​

p2/(2m)=eVp^2/(2m)=eV より

λ=h2meV.\boxed{\lambda=\frac{h}{\sqrt{2meV}}}.

2.0 A˚=2.0×10−10 m2.0\,\text{Å}=2.0\times10^{-10}\,\mathrm m なので

V=h22meλ2=(6.6×10−34)22(9.1×10−31)(1.6×10−19)(2.0×10−10)2≃37 V.\boxed{V=\frac{h^2}{2me\lambda^2} =\frac{(6.6\times10^{-34})^2}{2(9.1\times10^{-31})(1.6\times10^{-19})(2.0\times10^{-10})^2} \simeq37\,\mathrm V}.

III​

III.1​

光の軌跡 x=ctx=ct、x′=ct′x'=ct' を代入すると

ct′=α(c−v)t,ct=α(c+v)t′.ct'=\alpha(c-v)t,\qquad ct=\alpha(c+v)t'.

両式を掛けて c2=α2(c2−v2)c^2=\alpha^2(c^2-v^2) だから

α=11−v2/c2.\boxed{\alpha=\frac1{\sqrt{1-v^2/c^2}}}.

III.2​

エネルギー保存から E=m0c2+eVE=m_0c^2+eV。よって

p=1c(m0c2+eV)2−m02c4=1ceV(eV+2m0c2),p=\frac1c\sqrt{(m_0c^2+eV)^2-m_0^2c^4} =\frac1c\sqrt{eV(eV+2m_0c^2)},
λ=hceV(eV+2m0c2),v=c1−(m0c2m0c2+eV)2.\boxed{\lambda=\frac{hc}{\sqrt{eV(eV+2m_0c^2)}}},\qquad \boxed{v=c\sqrt{1-\left(\frac{m_0c^2}{m_0c^2+eV}\right)^2}}.
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