東京大学 工学系研究科 2018年度 数学 第5問

标签：

• 东京大学
• 傅里叶级数
• 酉离散傅里叶变换矩阵

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

問題

周期 $T>0$ の関数 $f$ が次の複素 Fourier 級数に展開されるとする。

$$f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}F_ne^{-i\omega_nt}.$$

I. $\omega_n$ を $T,n$ で表せ。

II. $M$ を正の整数、$\Delta t=T/M$ とし、次を定義する。

$$\widehat f(t)=\sum_{m=0}^{M-1}f(t)\delta(t-m\Delta t).$$

任意の整数 $k$ に対して、次の値を $F_n$ で表せ。 $\displaystyle\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{-\varepsilon}^{T-\varepsilon}\widehat f(t)e^{i\omega_kt}\,dt$。

III. $F_n=0$（$n<0$ または $n\ge M$）のとき、$F_j$（$0\le j<M$）を標本値 $f(0),f(\Delta t),\ldots,f((M-1)\Delta t)$ で表せ。

IV. $f(l\Delta t)=(-1)^l$（$0\le l<M$）のとき、III の $F_j$ を求めよ。

题目描述

设周期为 $T>0$ 的函数有复 Fourier 展开

$$f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}F_ne^{-i\omega_nt}.$$

I. 用 $T,n$ 表示 $\omega_n$。

II. 设 $M$ 为正整数、$\Delta t=T/M$，并定义

$$\widehat f(t)=\sum_{m=0}^{M-1}f(t)\delta(t-m\Delta t).$$

对任意整数 $k$，用 $F_n$ 表示 $\displaystyle\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{-\varepsilon}^{T-\varepsilon}\widehat f(t)e^{i\omega_kt}\,dt$。

III. 若 $F_n=0$（$n<0$ 或 $n\ge M$），用样本 $f(0),f(\Delta t),\ldots,f((M-1)\Delta t)$ 表示 $F_j$（$0\le j<M$）。

IV. 若 $f(l\Delta t)=(-1)^l$（$0\le l<M$），求 III 中的 $F_j$。

Kai

I.

$$\boxed{\omega_n=\frac{2\pi n}{T}}.$$

II.

Dirac のデルタ関数の抽出性と有限等比級数の公式から

$$\begin{aligned} \sum_{m=0}^{M-1}f(m\Delta t)e^{2\pi ikm/M} &=\sum_{n\in\mathbb Z}F_n\sum_{m=0}^{M-1}e^{2\pi i(k-n)m/M}\\ &=\boxed{M\sum_{\ell\in\mathbb Z}F_{k+\ell M}}. \end{aligned}$$

内側の和は $n\equiv k\pmod M$ のとき $M$、それ以外では零である。

III.

周波数範囲の条件により II の和には $F_j$ だけが残るので、

$$\boxed{F_j=\frac1M\sum_{m=0}^{M-1}f(m\Delta t)e^{2\pi ijm/M}}.$$

IV.

$$F_j=\frac1M\sum_{l=0}^{M-1}(-e^{2\pi ij/M})^l.$$

$M$ の偶奇によって場合分けすると

$$\boxed{F_j=\begin{cases} 1,&M\text{ が偶数かつ }j=M/2,\\ 0,&M\text{ が偶数かつ }j\ne M/2,\\ \dfrac{2}{M(1+e^{2\pi ij/M})},&M\text{ が奇数}. \end{cases}}$$