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東京大学 工学系研究科 2018年度 数学 第4問

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

I.​

3次元直交座標系において、実数の媒介変数 u,vu,v を消去し、次の曲面の方程式と概形を求めよ。ただし a,b,ca,b,c は零でない実定数とする。

  1. x=aucosh⁡vx=au\cosh v，y=businh⁡vy=bu\sinh v，z=u2z=u^2。
  2. x=au−vu+v\displaystyle x=a\frac{u-v}{u+v}，y=buv+1u+v\displaystyle y=b\frac{uv+1}{u+v}，z=cuv−1u+v\displaystyle z=c\frac{uv-1}{u+v}。

II.​

実定数 a,ba,b に対して、曲面 S:z=x2−2y2+ax+byS:z=x^2-2y^2+ax+by を考える。

  1. SS 上の点 (x,y,z)(x,y,z) における法線ベクトルを求めよ。
  2. SS を zz 軸の周りに正方向へ π/4\pi/4 回転した曲面 TT の方程式を求めよ。正方向は zz 軸の正側から原点を見たときの反時計回りとする。
  3. SS のうち −1≤x,y≤1-1\le x,y\le1 の部分を S′S' とする。S′S' の yzyz 平面への正射影の面積を求めよ。
  4. a=b=0a=b=0 のとき、S′S' の周の長さを求めよ。
  5. a=b=0a=b=0 のとき、点 (0,1/4,−1/8)(0,1/4,-1/8) における SS の Gauss 曲率を求めよ。

题目描述​

I.​

在三维直角坐标系中，消去实参数 u,vu,v，求下列曲面的方程并画出概形；a,b,ca,b,c 为非零实常数。

  1. x=aucosh⁡vx=au\cosh v，y=businh⁡vy=bu\sinh v，z=u2z=u^2。
  2. x=au−vu+v\displaystyle x=a\frac{u-v}{u+v}，y=buv+1u+v\displaystyle y=b\frac{uv+1}{u+v}，z=cuv−1u+v\displaystyle z=c\frac{uv-1}{u+v}。
II.​

设 S:z=x2−2y2+ax+byS:z=x^2-2y^2+ax+by，a,ba,b 为实常数。

  1. 求 SS 在 (x,y,z)(x,y,z) 的法向量。
  2. 将 SS 绕 zz 轴正向旋转 π/4\pi/4，求所得曲面 TT 的方程。正向为从 zz 轴正侧看向原点时逆时针方向。
  3. S′S' 为 SS 中 −1≤x,y≤1-1\le x,y\le1 的部分，求其在 yzyz 平面的投影面积。
  4. 当 a=b=0a=b=0 时，求 S′S' 的边界总长度。
  5. 当 a=b=0a=b=0 时，求 SS 在 (0,1/4,−1/8)(0,1/4,-1/8) 的 Gauss 曲率。

Kai​

I.​

  1. cosh⁡2v−sinh⁡2v=1\cosh^2v-\sinh^2v=1 より
x2a2−y2b2=z.\boxed{\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z}.

この方程式は双曲放物面を表す。実数の媒介変数が実際に覆う範囲は z>0z>0 の部分と原点である。u=0u=0 では原点のみを得る。

  1. X=x/aX=x/a、Y=y/bY=y/b、Z=z/cZ=z/c とおくと
X2+Y2−Z2=(u−v)2+4uv(u+v)2=1.X^2+Y^2-Z^2=\frac{(u-v)^2+4uv}{(u+v)^2}=1.

よって

x2a2+y2b2−z2c2=1,yb≠zc.\boxed{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1},\qquad \frac yb\ne\frac zc.

これは zz 軸を軸とする一葉双曲面である。ただし媒介変数表示には、y/b=z/cy/b=z/c を満たす2本の直線母線は含まれない。

規格化した座標による媒介変数曲面

II.​

  1. F=x2−2y2+ax+by−zF=x^2-2y^2+ax+by-z とおけば、法線ベクトルとして
n=(2x+a,−4y+b,−1)T.\boxed{\boldsymbol n=(2x+a,-4y+b,-1)^T}.
  1. 回転前の座標 ((x+y)/2,(−x+y)/2,z)((x+y)/\sqrt2,(-x+y)/\sqrt2,z) を元の方程式へ代入して
z=−x2+y22+3xy+a−b2x+a+b2y.\boxed{z=-\frac{x^2+y^2}{2}+3xy+\frac{a-b}{\sqrt2}x+\frac{a+b}{\sqrt2}y}.
  1. 各 y∈[−1,1]y\in[-1,1] に対し、正射影の鉛直方向の幅は [−1,1][-1,1] 上の h(x)=x2+axh(x)=x^2+ax の最大値と最小値の差である。面積はその差の2倍なので、
A={2(1+∣a∣+a2/4),∣a∣≤2,4∣a∣,∣a∣≥2.\boxed{A=\begin{cases} 2(1+|a|+a^2/4),&|a|\le2,\\ 4|a|,&|a|\ge2. \end{cases}}
  1. 四つの辺は z=x2−2z=x^2-2 の放物線2本と z=1−2y2z=1-2y^2 の放物線2本に対応する。よって
L=2∫−111+4x2 dx+2∫−111+16y2 dy=25+log⁡(2+5)+217+12log⁡(4+17).\begin{aligned} L&=2\int_{-1}^1\sqrt{1+4x^2}\,dx+2\int_{-1}^1\sqrt{1+16y^2}\,dy\\ &=\boxed{2\sqrt5+\log(2+\sqrt5)+2\sqrt{17}+\tfrac12\log(4+\sqrt{17})}. \end{aligned}
  1. z=f(x,y)=x2−2y2z=f(x,y)=x^2-2y^2 に対して
K=fxxfyy−fxy2(1+fx2+fy2)2=−8(1+4x2+16y2)2.K=\frac{f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2}{(1+f_x^2+f_y^2)^2} =-\frac8{(1+4x^2+16y^2)^2}.

指定された点を代入すると K=−2\boxed{K=-2} を得る。

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