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東京大学 工学系研究科 2018年度 数学 第3問

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

I.​

a>0a>0 とし、f(z)=z/[(z2+1)(z−1−ia)]f(z)=z/[(z^2+1)(z-1-ia)] とする。

  1. すべての極と、それぞれの留数を求めよ。
  2. 留数定理を用いて ∫−∞∞x(x2+1)(x−1−ia) dx\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x}{(x^2+1)(x-1-ia)}\,dx を求めよ。

II.​

g(z)=z/[(z2+1)(z−1)]g(z)=z/[(z^2+1)(z-1)] とする。反時計回りの閉曲線 CC は、次の四つの経路を順にたどるものとする。ただし r>0r>0、r≠2r\ne\sqrt2、R>1+rR>1+r である。

  • C1:z=ReiθC_1:z=Re^{i\theta}，0≤θ≤π0\le\theta\le\pi；
  • C2:z=xC_2:z=x，−R≤x≤1−r-R\le x\le1-r；
  • C3:z=1−reiθC_3:z=1-re^{i\theta}、0≤θ≤π0\le\theta\le\pi（下半円）；
  • C4:z=xC_4:z=x，1+r≤x≤R1+r\le x\le R。

積分経路（0より大きく1より小さいrの例）

  1. ∮Cg(z) dz\displaystyle\oint_Cg(z)\,dz を求めよ。
  2. lim⁡ε→0+[∫−∞1−εg(x) dx+∫1+ε∞g(x) dx]\displaystyle\lim_{\varepsilon\to0^+}\left[\int_{-\infty}^{1-\varepsilon}g(x)\,dx+\int_{1+\varepsilon}^{\infty}g(x)\,dx\right] を求めよ。

题目描述​

I.​

设 a>0a>0，f(z)=z/[(z2+1)(z−1−ia)]f(z)=z/[(z^2+1)(z-1-ia)]。

  1. 求全部极点及其留数。
  2. 用留数定理计算 ∫−∞∞x(x2+1)(x−1−ia) dx\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x}{(x^2+1)(x-1-ia)}\,dx。
II.​

设 g(z)=z/[(z2+1)(z−1)]g(z)=z/[(z^2+1)(z-1)]。闭曲线 CC 依次由下列各段组成，方向为逆时针；r>0r>0、r≠2r\ne\sqrt2、R>1+rR>1+r：

  • C1:z=ReiθC_1:z=Re^{i\theta}，0≤θ≤π0\le\theta\le\pi；
  • C2:z=xC_2:z=x，−R≤x≤1−r-R\le x\le1-r；
  • C3:z=1−reiθC_3:z=1-re^{i\theta}，0≤θ≤π0\le\theta\le\pi（下半圆）；
  • C4:z=xC_4:z=x，1+r≤x≤R1+r\le x\le R。
  1. 求 ∮Cg(z) dz\displaystyle\oint_Cg(z)\,dz。
  2. 求 lim⁡ε→0+[∫−∞1−εg(x) dx+∫1+ε∞g(x) dx]\displaystyle\lim_{\varepsilon\to0^+}\left[\int_{-\infty}^{1-\varepsilon}g(x)\,dx+\int_{1+\varepsilon}^{\infty}g(x)\,dx\right]。

Kai​

I.​

  1. 三つの極はいずれも1位の極であり、留数はそれぞれ
Res⁡if=12(i−1−ia),Res⁡−if=12(−i−1−ia),Res⁡1+iaf=1+ia(1+ia)2+1.\boxed{\operatorname{Res}_{i}f=\frac1{2(i-1-ia)},\quad \operatorname{Res}_{-i}f=\frac1{2(-i-1-ia)},\quad \operatorname{Res}_{1+ia}f=\frac{1+ia}{(1+ia)^2+1}}.
  1. 上半平面で積分経路を閉じる。大円弧の積分は O(R−1)O(R^{-1}) なので、
∫−∞∞f(x) dx=2πi(Res⁡if+Res⁡1+iaf)=πa+1−i.\boxed{\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx =2\pi i\left(\operatorname{Res}_if+\operatorname{Res}_{1+ia}f\right) =\frac{\pi}{a+1-i}}.

II.​

  1. gg の i,−i,1i,-i,1 における留数は順に (−1−i)/4(-1-i)/4、(−1+i)/4(-1+i)/4、1/21/2 である。

0<r<20<r<\sqrt2 のとき、CC 内には i,1i,1 がある。r>2r>\sqrt2 のときは −i-i も含まれる。したがって

∮Cg(z) dz={π2(1+i),0<r<2,0,r>2.\boxed{\oint_Cg(z)\,dz= \begin{cases}\dfrac\pi2(1+i),&0<r<\sqrt2,\\0,&r>\sqrt2.\end{cases}}
  1. r→0+r\to0^+ のとき、下半円を左から右へ進む積分は iπRes⁡1g=iπ/2i\pi\operatorname{Res}_{1}g=i\pi/2 に収束し、大円弧の積分は零に収束する。よって
PV⁡∫−∞∞g(x) dx=π2(1+i)−πi2=π2.\boxed{\operatorname{PV}\int_{-\infty}^{\infty}g(x)\,dx =\frac\pi2(1+i)-\frac{\pi i}{2}=\frac\pi2}.
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