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東京大学 工学系研究科 2018年度 数学 第2問

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

I.​

正則行列 PP の固有値を λ\lambda とする。次を証明せよ。

  1. λ≠0\lambda\ne0。
  2. λ−1\lambda^{-1} は P−1P^{-1} の固有値であり、λn\lambda^n は PnP^n の固有値である。ただし nn は正の整数とする。

II.​

次の行列を対角化する直交行列 PP と、その対角行列を求めよ。

A=(2−11−12−11−12)A=\begin{pmatrix}2&-1&1\\-1&2&-1\\1&-1&2\end{pmatrix}

ここで PTAPP^TAP を対角行列とする。

III.​

p,q,rp,q,r は互いに異なる零でない実数とし、次を定める。

P=(111pp2p3qq2q3),r=(rr2r3),x=(xyz).P=\begin{pmatrix}1&1&1\\p&p^2&p^3\\q&q^2&q^3\end{pmatrix},\quad \boldsymbol r=\begin{pmatrix}r\\r^2\\r^3\end{pmatrix},\quad \boldsymbol x=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}.
  1. PP が正則となる条件を求めよ。
  2. PTx=rP^T\boldsymbol x=\boldsymbol r が唯一の解をもつとき、その解を求めよ。

IV.​

PnP_n は n≥2n\ge2 次三重対角行列であり、対角成分はすべて p+qp+q、上側の隣接成分はすべて qq、下側の隣接成分はすべて pp、他の成分は零とする。p,qp,q は異なる実数である。

  1. Dn=det⁡PnD_n=\det P_n の漸化式を求めよ。
  2. DnD_n を p,q,np,q,n で表せ。

题目描述​

I.​

设 λ\lambda 是可逆矩阵 PP 的特征值。证明：

  1. λ≠0\lambda\ne0。
  2. λ−1\lambda^{-1} 是 P−1P^{-1} 的特征值，λn\lambda^n 是 PnP^n 的特征值（nn 为正整数）。
II.​

求正交矩阵 PP 及相应对角矩阵，使

A=(2−11−12−11−12)A=\begin{pmatrix}2&-1&1\\-1&2&-1\\1&-1&2\end{pmatrix}

对角化。

III.​

设 p,q,rp,q,r 为互不相同的非零实数，

P=(111pp2p3qq2q3),r=(rr2r3),x=(xyz).P=\begin{pmatrix}1&1&1\\p&p^2&p^3\\q&q^2&q^3\end{pmatrix},\quad \boldsymbol r=\begin{pmatrix}r\\r^2\\r^3\end{pmatrix},\quad \boldsymbol x=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}.
  1. 求 PP 可逆的条件。
  2. 当 PTx=rP^T\boldsymbol x=\boldsymbol r 有唯一解时，求该解。
IV.​

PnP_n 为 n≥2n\ge2 阶三对角矩阵，主对角线全为 p+qp+q，上对角线全为 qq，下对角线全为 pp，其余元素为零；p,qp,q 是不同实数。

  1. 求 Dn=det⁡PnD_n=\det P_n 的递推关系。
  2. 求 DnD_n 关于 p,q,np,q,n 的表达式。

Kai​

I.​

非零の固有ベクトル vv をとると Pv=λvPv=\lambda v である。λ=0\lambda=0 なら v=P−10=0v=P^{-1}0=0 となり矛盾する。よって λ≠0\lambda\ne0 であり、

P−1v=λ−1v,Pnv=λnv.P^{-1}v=\lambda^{-1}v,\qquad P^nv=\lambda^nv.

II.​

v=(1,−1,1)Tv=(1,-1,1)^T とおけば A=I+vvTA=I+vv^T である。したがって vv 方向の固有値は 44、その直交補空間上の固有値は 11 である。例えば

P=(1/21/61/31/2−1/6−1/30−2/61/3),PTAP=diag⁡(1,1,4).\boxed{P=\begin{pmatrix} 1/\sqrt2&1/\sqrt6&1/\sqrt3\\ 1/\sqrt2&-1/\sqrt6&-1/\sqrt3\\ 0&-2/\sqrt6&1/\sqrt3 \end{pmatrix}},\qquad \boxed{P^TAP=\operatorname{diag}(1,1,4)}.

III.​

  1. Vandermonde の行列式より
det⁡P=pq(p−1)(q−1)(q−p).\det P=pq(p-1)(q-1)(q-p).

仮定の下で、正則となる必要十分条件は p≠1, q≠1\boxed{p\ne1,\ q\ne1} である。

  1. 三つの方程式は x+py+qz=rx+py+qz=r、x+p2y+q2z=r2x+p^2y+q^2z=r^2、x+p3y+q3z=r3x+p^3y+q^3z=r^3 である。消去法により
x=r(r−p)(r−q)(1−p)(1−q),y=r(r−1)(r−q)p(p−1)(p−q),z=r(r−1)(r−p)q(q−1)(q−p).\boxed{\begin{aligned} x&=\frac{r(r-p)(r-q)}{(1-p)(1-q)},\\ y&=\frac{r(r-1)(r-q)}{p(p-1)(p-q)},\\ z&=\frac{r(r-1)(r-p)}{q(q-1)(q-p)}. \end{aligned}}

IV.​

  1. 第1行に沿って展開すると
Dn=(p+q)Dn−1−pqDn−2,D0=1,D1=p+q.\boxed{D_n=(p+q)D_{n-1}-pqD_{n-2}},\qquad D_0=1,\quad D_1=p+q.
  1. 特性方程式は (λ−p)(λ−q)=0(\lambda-p)(\lambda-q)=0 である。初期値を用いて
Dn=pn+1−qn+1p−q.\boxed{D_n=\frac{p^{n+1}-q^{n+1}}{p-q}}.
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