東京大学 工学系研究科 2018年度 数学 第1問

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• Tokyo-University
• Linear-Ordinary-Differential-Equation-with-Exponential-Forcing
• Cauchy-Euler-Equation
• Separation-of-Variables-for-Partial-Differential-Equation

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

I.

次の微分方程式の一般解を求めよ。

1. $y''+2y'-3y=e^x\cos x$。
2. $y''+x^{-1}y'+4x^{-2}y=(2\log x/x)^2$，$x>0$。

II.

$x\ge0$、$0\le y\le1$ において、次の方程式と境界条件を考える。

$$u_{xx}+u_{yy}=0,\quad \lim_{x\to\infty}u(x,y)=0,\quad u_y(x,0)=0,\quad u(x,1)=0,\quad u_x(0,y)=1+\cos\pi y.$$

1. 方程式と無限遠の条件を満たす変数分離解 $u=X(x)Y(y)$ を求めよ。
2. さらに $u_y(x,0)=0$、$u(x,1)=0$ を満たす解を求めよ。
3. 前問を用いて、すべての条件を満たす解を求めよ。

题目描述

I.

求下列微分方程的通解：

1. $y''+2y'-3y=e^x\cos x$。
2. $y''+x^{-1}y'+4x^{-2}y=(2\log x/x)^2$，$x>0$。

II.

在 $x\ge0$、$0\le y\le1$ 上考虑

$$u_{xx}+u_{yy}=0,\quad \lim_{x\to\infty}u(x,y)=0,\quad u_y(x,0)=0,\quad u(x,1)=0,\quad u_x(0,y)=1+\cos\pi y.$$

1. 求满足方程及无穷远条件的分离变量解 $u=X(x)Y(y)$。
2. 再使其满足 $u_y(x,0)=0$、$u(x,1)=0$。
3. 利用前问求满足全部条件的解。

Kai

I.

1. 斉次方程式の特性根は $1,-3$ である。特解を $e^x(A\cos x+B\sin x)$ とおくと、$A=-1/17$、$B=4/17$ を得る。したがって

$$\boxed{y=C_1e^x+C_2e^{-3x}+\frac{e^x}{17}(4\sin x-\cos x)}.$$

2. $t=\log x$ とおくと、方程式は $y_{tt}+4y=4t^2$ となる。よって

$$\boxed{y=C_1\cos(2\log x)+C_2\sin(2\log x)+(\log x)^2-\frac12}.$$

II.

1. 変数分離により $X''/X=-Y''/Y$ を得る。非零の減衰解では分離定数を $k^2>0$ として

$$u=e^{-kx}(A\cos ky+B\sin ky),\qquad k>0.$$

2. 二つの境界条件から $B=0$、$\cos k=0$ を得る。$k_n=(n+\tfrac12)\pi$ とおけば、基本解は

$$e^{-k_nx}\cos(k_ny),\qquad n=0,1,\ldots.$$

3. $1+\cos\pi y=\sum_{n\ge0}b_n\cos(k_ny)$ と展開する。直交性から

$$b_n=2\int_0^1(1+\cos\pi y)\cos(k_ny)\,dy =-\frac{2\pi^2(-1)^n}{k_n(k_n^2-\pi^2)}.$$

したがって、求める解は

$$\boxed{u(x,y)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2\pi^2(-1)^n}{k_n^2(k_n^2-\pi^2)}e^{-k_nx}\cos(k_ny)}.$$