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東京大学 工学系研究科 2016年8月実施 物理学 第3問

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

I​

圧力 pp、比体積 vv、絶対温度 TT、単位質量当たりのエントロピー ss を用いる。理想気体の状態方程式は pv=RTpv=RT とする。

  1. 理想気体の体膨張係数 α\alpha と等温圧縮率 κT\kappa_T を求めよ。
α=1v(∂v∂T)p,κT=−1v(∂v∂p)T.\alpha=\frac1v\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_p,\qquad \kappa_T=-\frac1v\left(\frac{\partial v}{\partial p}\right)_T.
  1. 一般の気体の定圧・定積比熱 cp,cvc_p,c_v について、次の関係を導け。
cp−cv=vTα2κT.c_p-c_v=\frac{vT\alpha^2}{\kappa_T}.

以下を用いてよい。

cp=T(∂s∂T)p,cv=T(∂s∂T)v,(∂v∂T)p=−(∂s∂p)T,(∂p∂T)v=(∂s∂v)T,c_p=T\left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)_p,\quad c_v=T\left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)_v,\quad \left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_p=-\left(\frac{\partial s}{\partial p}\right)_T,\quad \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_v=\left(\frac{\partial s}{\partial v}\right)_T,
(∂p∂v)T(∂v∂T)p(∂T∂p)v=−1.\left(\frac{\partial p}{\partial v}\right)_T \left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_p \left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)_v=-1.
  1. 比熱一定の理想気体が可逆的に (p1,v1,T1)(p_1,v_1,T_1) から (p2,v2,T2)(p_2,v_2,T_2) に変化するとき、s2−s1s_2-s_1 を v1,v2,T1,T2,cv,Rv_1,v_2,T_1,T_2,c_v,R で表せ。RR は単位質量当たりの気体定数とする。
  2. この変化が断熱であるとき、T2/T1T_2/T_1 を v1,v2,κ=cp/cvv_1,v_2,\kappa=c_p/c_v で表せ。

II​

比熱一定の理想気体による図の三つの可逆サイクルを考える。ε=v1/v2\varepsilon=v_1/v_2 を圧縮比とする。図中の熱量 qA,…,qGq_A,\ldots,q_G は正の大きさである。

  • サイクル A：1→2 断熱圧縮、2→2′ 定積吸熱 qAq_A、2′→4 断熱膨張、4→1 定積放熱 qEq_E。
  • サイクル B：1→2 断熱圧縮、2→3 定圧吸熱 qBq_B、3→4 断熱膨張、4→1 定積放熱 qFq_F。σ=v3/v2\sigma=v_3/v_2 とする。
  • サイクル C：1→2 断熱圧縮、2→2′ 定積吸熱 qCq_C、2′→3 定圧吸熱 qDq_D、3→4 断熱膨張、4→1 定積放熱 qGq_G。σ=v3/v2\sigma=v_3/v_2、ρ=p3/p2\rho=p_3/p_2 とする。

三つの熱機関の圧力・比体積線図

  1. A の効率 ηA\eta_A を ε,κ\varepsilon,\kappa で表せ。
  2. B の効率 ηB\eta_B を ε,κ,σ\varepsilon,\kappa,\sigma で表せ。
  3. C の効率 ηC\eta_C を ε,κ,σ,ρ\varepsilon,\kappa,\sigma,\rho で表せ。
  4. ε>2\varepsilon>2 を三者で共通とし、κ=4/3\kappa=4/3、σ=2\sigma=2、ρ>1\rho>1 とする。効率が最大・最小となるサイクルを理由とともに答えよ。21/3=1.262^{1/3}=1.26 としてよい。

题目描述​

I. 用 p,v,T,sp,v,T,s 表示压强、比体积、绝对温度、单位质量的熵。理想气体状态方程为 pv=RTpv=RT。

  1. 按下式求理想气体的体膨胀系数 α\alpha 和等温压缩率 κT\kappa_T。
α=1v(∂v∂T)p,κT=−1v(∂v∂p)T.\alpha=\frac1v\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_p,\qquad \kappa_T=-\frac1v\left(\frac{\partial v}{\partial p}\right)_T.
  1. 对一般气体，证明 cp−cv=vTα2/κTc_p-c_v=vT\alpha^2/\kappa_T。可以使用以下热容定义、麦克斯韦关系及偏导数循环关系：
cp=T(∂s∂T)p,cv=T(∂s∂T)v,(∂v∂T)p=−(∂s∂p)T,(∂p∂T)v=(∂s∂v)T,c_p=T\left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)_p,\quad c_v=T\left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)_v,\quad \left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_p=-\left(\frac{\partial s}{\partial p}\right)_T,\quad \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_v=\left(\frac{\partial s}{\partial v}\right)_T,
(∂p∂v)T(∂v∂T)p(∂T∂p)v=−1.\left(\frac{\partial p}{\partial v}\right)_T \left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_p \left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)_v=-1.
  1. 热容恒定的理想气体从 (p1,v1,T1)(p_1,v_1,T_1) 可逆变化到 (p2,v2,T2)(p_2,v_2,T_2)。用 v1,v2,T1,T2,cv,Rv_1,v_2,T_1,T_2,c_v,R 表示比熵变化，RR 为单位质量气体常数。
  2. 若该过程绝热，用 v1,v2,κ=cp/cvv_1,v_2,\kappa=c_p/c_v 表示 T2/T1T_2/T_1。

II. 考虑图示三个由定热容理想气体构成的可逆循环。压缩比为 ε=v1/v2\varepsilon=v_1/v_2，所有 qq 表示热量的正值大小。

  • A：1→2 绝热压缩，2→2′ 定容吸热 qAq_A，2′→4 绝热膨胀，4→1 定容放热 qEq_E。
  • B：1→2 绝热压缩，2→3 定压吸热 qBq_B，3→4 绝热膨胀，4→1 定容放热 qFq_F，截止比 σ=v3/v2\sigma=v_3/v_2。
  • C：1→2 绝热压缩，2→2′ 定容吸热 qCq_C，2′→3 定压吸热 qDq_D，3→4 绝热膨胀，4→1 定容放热 qGq_G。截止比 σ=v3/v2\sigma=v_3/v_2，压力比 ρ=p3/p2\rho=p_3/p_2。
  1. 用 ε,κ\varepsilon,\kappa 求 A 的效率。
  2. 用 ε,κ,σ\varepsilon,\kappa,\sigma 求 B 的效率。
  3. 用 ε,κ,σ,ρ\varepsilon,\kappa,\sigma,\rho 求 C 的效率。
  4. 在共同的 ε>2\varepsilon>2、κ=4/3\kappa=4/3、σ=2\sigma=2、ρ>1\rho>1 下，判断效率最高和最低的循环并说明理由；可取 21/3=1.262^{1/3}=1.26。

Kai​

I​

I.1​

pv=RTpv=RT から

α=1T,κT=1p.\boxed{\alpha=\frac1T},\qquad \boxed{\kappa_T=\frac1p}.

I.2​

s=s(T,v)s=s(T,v) の全微分を定圧条件で評価すると

cp−cv=T(∂s∂v)T(∂v∂T)p=T(∂p∂T)vvα.c_p-c_v =T\left(\frac{\partial s}{\partial v}\right)_T \left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_p =T\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_v v\alpha.

dv=vα dT−vκT dpdv=v\alpha\,dT-v\kappa_T\,dp より (∂p/∂T)v=α/κT(\partial p/\partial T)_v=\alpha/\kappa_T だから

cp−cv=vTα2κT.\boxed{c_p-c_v=\frac{vT\alpha^2}{\kappa_T}}.

I.3–I.4​

第一法則 Tds=cvdT+p dvTds=c_vdT+p\,dv を積分すると

s2−s1=cvlog⁡T2T1+Rlog⁡v2v1.\boxed{s_2-s_1=c_v\log\frac{T_2}{T_1}+R\log\frac{v_2}{v_1}}.

可逆断熱では左辺はゼロ。R/cv=κ−1R/c_v=\kappa-1 より

T2T1=(v1v2)κ−1.\boxed{\frac{T_2}{T_1}=\left(\frac{v_1}{v_2}\right)^{\kappa-1}}.

II​

II.1​

T2=εκ−1T1T_2=\varepsilon^{\kappa-1}T_1、T2′=εκ−1T4T_{2'}=\varepsilon^{\kappa-1}T_4 なので

ηA=1−qEqA=1−cv(T4−T1)cv(T2′−T2)=1−ε1−κ.\eta_A=1-\frac{q_E}{q_A} =1-\frac{c_v(T_4-T_1)}{c_v(T_{2'}-T_2)} =\boxed{1-\varepsilon^{1-\kappa}}.

II.2​

T3=σT2T_3=\sigma T_2、T4=T3(σ/ε)κ−1=σκT1T_4=T_3(\sigma/\varepsilon)^{\kappa-1}=\sigma^\kappa T_1 より

ηB=1−cv(T4−T1)cp(T3−T2)=1−σκ−1κεκ−1(σ−1).\eta_B=1-\frac{c_v(T_4-T_1)}{c_p(T_3-T_2)} =\boxed{1-\frac{\sigma^\kappa-1}{\kappa\varepsilon^{\kappa-1}(\sigma-1)}}.

II.3​

T2′=ρT2T_{2'}=\rho T_2、T3=ρσT2T_3=\rho\sigma T_2、T4=ρσκT1T_4=\rho\sigma^\kappa T_1 である。したがって

qC+qD=cvT2{ρ−1+κρ(σ−1)},qG=cvT1(ρσκ−1),q_C+q_D=c_vT_2\{\rho-1+\kappa\rho(\sigma-1)\},\qquad q_G=c_vT_1(\rho\sigma^\kappa-1),
ηC=1−ρσκ−1εκ−1{ρ−1+κρ(σ−1)}.\boxed{\eta_C=1-\frac{\rho\sigma^\kappa-1} {\varepsilon^{\kappa-1}\{\rho-1+\kappa\rho(\sigma-1)\}}}.

II.4​

η=1−gε−1/3\eta=1-g\varepsilon^{-1/3} と書くと

gA=1,gB≃1.14,gC≃2.52ρ−1(7/3)ρ−1.g_A=1,\qquad g_B\simeq1.14,\qquad g_C\simeq\frac{2.52\rho-1}{(7/3)\rho-1}.

ρ=1\rho=1 で gC=gBg_C=g_B、ρ>1\rho>1 では gCg_C は単調減少し、極限は 2.52/(7/3)=1.08>12.52/(7/3)=1.08>1 である。よって

ηA>ηC>ηB.\boxed{\eta_A>\eta_C>\eta_B}.

最大は A、最小は B である。

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