東京大学 工学系研究科 2016年8月実施 物理学 第1問 Author 祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)
Description 長さ l l l M M M x x x y y y x x x g g g
G を通り x y xy x y I = M l 2 / 12 I=Ml^2/12 I = M l 2 /12
棒 AB と y y y θ \theta θ θ \theta θ 0 0 0 R R R
III
θ \theta θ g , l g,l g , l
B が水平面に触れる直前の棒の G のまわりの角速度と、B の速度を求めよ。
B が水平面に触れるまで、A が水平面から離れないことを示せ。
题目描述
长度为 l l l M M M x x x y y y x x x g g g
I. 证明杆绕过 G 且垂直于 x y xy x y I = M l 2 / 12 I=Ml^2/12 I = M l 2 /12
II. 令杆与 y y y θ \theta θ 0 0 0 R R R
III. 推导 θ \theta θ g , l g,l g , l
IV. 求 B 刚要接触水平面时杆绕 G 的角速度和 B 点的速度。
V. 证明在 B 接触水平面之前，A 始终保持接触。
Kai G を原点として棒に沿う座標を s s s
I = ∫ − l / 2 l / 2 s 2 M l d s = 1 12 M l 2 . I=\int_{-l/2}^{l/2}s^2\frac{M}{l}\,ds
=\boxed{\frac1{12}Ml^2}. I = ∫ − l /2 l /2 s 2 l M d s = 12 1 M l 2 . G の座標を ( x G , y G ) (x_G,y_G) ( x G , y G ) θ \theta θ
M x ¨ G = 0 , M y ¨ G = R − M g , I θ ¨ = l 2 R sin θ . \boxed{M\ddot x_G=0,\qquad M\ddot y_G=R-Mg,\qquad
I\ddot\theta=\frac l2R\sin\theta}. M x ¨ G = 0 , M y ¨ G = R − M g , I θ ¨ = 2 l R sin θ . また、接触条件から y G = ( l / 2 ) cos θ y_G=(l/2)\cos\theta y G = ( l /2 ) cos θ
III
接触条件を 2 回微分して、
y ¨ G = − l 2 ( sin θ θ ¨ + cos θ θ ˙ 2 ) . \ddot y_G=-\frac l2(\sin\theta\,\ddot\theta+\cos\theta\,\dot\theta^2). y ¨ G = − 2 l ( sin θ θ ¨ + cos θ θ ˙ 2 ) . II の式から R R R
( 1 + 3 sin 2 θ ) θ ¨ + 3 sin θ cos θ θ ˙ 2 − 6 g l sin θ = 0 . \boxed{(1+3\sin^2\theta)\ddot\theta
+3\sin\theta\cos\theta\,\dot\theta^2
-\frac{6g}{l}\sin\theta=0}. ( 1 + 3 sin 2 θ ) θ ¨ + 3 sin θ cos θ θ ˙ 2 − l 6 g sin θ = 0 . 初期速度を零に近づける極限では x ˙ G = 0 \dot x_G=0 x ˙ G = 0
1 2 M ( l 2 sin θ θ ˙ ) 2 + 1 2 I θ ˙ 2 = M g l 2 ( 1 − cos θ ) , \frac12M\left(\frac l2\sin\theta\,\dot\theta\right)^2
+\frac12I\dot\theta^2
=\frac{Mgl}{2}(1-\cos\theta), 2 1 M ( 2 l sin θ θ ˙ ) 2 + 2 1 I θ ˙ 2 = 2 M g l ( 1 − cos θ ) , すなわち
θ ˙ 2 = 12 g ( 1 − cos θ ) l ( 1 + 3 sin 2 θ ) . \dot\theta^2=\frac{12g(1-\cos\theta)}{l(1+3\sin^2\theta)}. θ ˙ 2 = l ( 1 + 3 sin 2 θ ) 12 g ( 1 − cos θ ) . θ → π / 2 \theta\to\pi/2 θ → π /2
ω = θ ˙ = 3 g l （時計回り） . \boxed{\omega=\dot\theta=\sqrt{\frac{3g}{l}}}\quad\text{（時計回り）}. ω = θ ˙ = l 3 g （時計回り） . x B = x G + ( l / 2 ) sin θ x_B=x_G+(l/2)\sin\theta x B = x G + ( l /2 ) sin θ y B = l cos θ y_B=l\cos\theta y B = l cos θ
v B = ( 0 , − 3 g l ) . \boxed{\boldsymbol v_B=(0,-\sqrt{3gl})}. v B = ( 0 , − 3 g l ) . III、IV の結果を R = M g + M y ¨ G R=Mg+M\ddot y_G R = M g + M y ¨ G c = cos θ c=\cos\theta c = cos θ
R = M g 3 c 2 − 6 c + 4 ( 4 − 3 c 2 ) 2 = M g 3 ( c − 1 ) 2 + 1 ( 4 − 3 c 2 ) 2 > 0 ( 0 ≤ θ ≤ π / 2 ) . \boxed{R=Mg\frac{3c^2-6c+4}{(4-3c^2)^2}
=Mg\frac{3(c-1)^2+1}{(4-3c^2)^2}>0}
\qquad(0\le\theta\le\pi/2). R = M g ( 4 − 3 c 2 ) 2 3 c 2 − 6 c + 4 = M g ( 4 − 3 c 2 ) 2 3 ( c − 1 ) 2 + 1 > 0 ( 0 ≤ θ ≤ π /2 ) . 垂直抗力は常に正であり、A は水平面から離れない。
