東京大学 工学系研究科 2016年8月実施 数学 第5問

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で定義される関数 のラプラス変換 は

で定義される。ただし, は複素数, は自然対数の底とする。以下の問いに答えよ。導出過程を示すこと。

I.

以下の関係式が成り立つことを示せ。

1.

が自然数のとき,

2.

が微分可能であるとき,　

3.

が実数のとき,

II.

ラプラス変換を用いて, における以下の微分方程式の解を求めよ。

ただし, の関係式を用いてよい。

III.

次の連立微分方程式を満足する点 が, のとき点 を通るとする。ただし,　 は実数とする。

1.

ラプラス変換を用いて,　 における式(3)の解を求めよ。

2.

問 III.1 の解から を消去し, と の関係式を示せ。

3.

および のとき, を から無限大まで連続的に変化させた場合の点 の軌跡をそれぞれ図示せよ。

Kai

I.

1.

2.

3.

II.

両辺をラプラス変換すると,

ここで, の関係を利用すると,

であるから,　ラプラス変換した微分方程式は,　

となる。ラプラス逆変換により,

より, と決まり,　求める解 を得る。

III.

1.

のラプラス変換をそれぞれ, , とおく。連立微分方程式(3)をラプラス変換すると,

であることに注意して,　式 より,

式 より,

求める解は,

2.

を の式に代入して,

3.

(i).

のとき,

のとき, より, 点 の軌跡は下図左のようになる。

(ii).

のとき, より, 点 の軌跡は下図右のようになる。

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