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東京大学 工学系研究科 2016年8月実施 数学 第4問

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Author​

祭音Myyura

Description​

出典：公式2017年度数学試験、第4問。

0≤θ<2π,0≤α≤π0 \leq \theta < 2\pi ,0 \leq \alpha \leq \pi 範囲にある実数 θ\theta, α\alpha に対して, 3 次元直交座標系 xyzxyz における点 P(cos⁡θ,sin⁡θ,1)P(\cos\theta,\sin\theta,1) と点 Q(cos⁡(θ+α),sin⁡(θ+α),−1)Q(\cos(\theta + \alpha),\sin(\theta + \alpha),-1) の 2 点を通る直線 LL を考える。

I.​

直線 LL を,　媒介変数 tt の一次式として表せ。ただし, t=0t = 0 の時に点 QQ を,　t=1t = 1 の時に点 PP を表すように定めよ。

II.​

θ\theta を 0≤θ<2π0 \leq \theta < 2\pi の範囲で変化させたときに直線 LL が描く曲面 SS を x,y,zx,y,z の方程式として求めよ。また, 曲面 SSと平面 y=0y=0 の交線を CC とする。CC を x,zx,z の方程式として求め, その概形を図示せよ。

次に, 曲面 SS のガウス曲率を考える。一般に曲面上の点 RR の位置ベクトル rr が媒介変数 u,vu,v を用いて,

r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\begin{align} r(u,v) = (x(u,v),y(u,v),z(u,v)) \end{align}

で与えられるとき,　ガウス曲率 KK は次式のように表される。

K=(ruu⋅e)(rvv⋅e)−(ruv⋅e)2(ru⋅ru)(rv⋅rv)−(ru⋅rv)2\begin{align} K = \frac{(r_{uu}\cdot e)(r_{vv}\cdot e) - (r_{uv} \cdot e)^2}{(r_{u}\cdot r_{u})(r_{v}\cdot r_{v})- (r_{u} \cdot r_{v})^2} \end{align}

ここで, ru,rvr_{u},r_{v}とruu,ruv,rvvr_{uu},r_{uv},r_{vv} は媒介変数 u,vu,v に関する r(u,v)r(u,v) の一階偏微分,　二階偏微分を表している。また, (a⋅b)\big( a \cdot b \big) は 3 次元ベクトル a,ba,b の内積, ee は点 RR における法線方向の単位ベクトルを表している。

III.​

曲面 SS と xx 軸の交点のうち領域 x>0x>0 にあるものを点 WW とする。0≤α<π0 \leq \alpha < \pi を満たす α\alpha に対し,　点 WW における曲面 SS のガウス曲率を計算せよ。

IV.​

0≤α<π0 \leq \alpha < \pi を満たす α\alpha に対し,　曲面 SS の任意の点においてガウス曲率が 00 以下であることを示せ。

题目描述​

对 0≤θ<2π0\le\theta<2\pi、0≤α≤π0\le\alpha\le\pi，在三维直角坐标系中取

P=(cos⁡θ,sin⁡θ,1),Q=(cos⁡(θ+α),sin⁡(θ+α),−1),P=(\cos\theta,\sin\theta,1),\qquad Q=(\cos(\theta+\alpha),\sin(\theta+\alpha),-1),

并令直线 LL 经过 P,QP,Q。

  1. 用参数 tt 的一次式表示 LL，要求 t=0t=0 对应 QQ、t=1t=1 对应 PP。
  2. 固定 α\alpha、令 θ\theta 遍历 [0,2π)[0,2\pi)，求这些直线扫成的曲面 SS 的 x,y,zx,y,z 方程。再求 SS 与平面 y=0y=0 的交线 CC 在 x,zx,z 平面中的方程，并画出概形。
  3. 采用题中给出的参数曲面高斯曲率公式。对 0≤α<π0\le\alpha<\pi，取 SS 与正 xx 轴的交点 WW，计算 WW 处的高斯曲率。
  4. 对 0≤α<π0\le\alpha<\pi，证明曲面 SS 任意点处的高斯曲率均不大于 00。

Kai​

I​

r=(1−t)Q+tP\boldsymbol r=(1-t)Q+tP より、

x=(1−t)cos⁡(θ+α)+tcos⁡θ,y=(1−t)sin⁡(θ+α)+tsin⁡θ,z=2t−1,t∈R.\boxed{\begin{aligned} x&=(1-t)\cos(\theta+\alpha)+t\cos\theta,\\ y&=(1-t)\sin(\theta+\alpha)+t\sin\theta,\\ z&=2t-1,\qquad t\in\mathbb R. \end{aligned}}

II​

x2+y2=(1−t)2+t2+2t(1−t)cos⁡αx^2+y^2=(1-t)^2+t^2+2t(1-t)\cos\alpha に t=(z+1)/2t=(z+1)/2 を代入すると、

S: x2+y2−sin⁡2α2 z2=cos⁡2α2.\boxed{S:\ x^2+y^2-\sin^2\frac\alpha2\,z^2=\cos^2\frac\alpha2.}

固定した tt で θ\theta を一周させると対応する円周全体が得られるため、これは求める曲面そのものである。y=0y=0 とおいて

C: x2−sin⁡2α2 z2=cos⁡2α2.\boxed{C:\ x^2-\sin^2\frac\alpha2\,z^2=\cos^2\frac\alpha2.}

α=0\alpha=0 では x=±1x=\pm1、0<α<π0<\alpha<\pi では頂点 (x,z)=(±cos⁡(α/2),0)(x,z)=(\pm\cos(\alpha/2),0)、漸近線 z=±x/sin⁡(α/2)z=\pm x/\sin(\alpha/2) を持つ双曲線、α=π\alpha=\pi では z=±xz=\pm x となる。

三つの場合の断面C

III​

a=cos⁡(α/2)>0,b=sin⁡(α/2)a=\cos(\alpha/2)>0,b=\sin(\alpha/2) とおくと W=(a,0,0)W=(a,0,0)。曲面の方程式より単位法線は e=(1,0,0)\boldsymbol e=(1,0,0) と取れる。

WW に対応するパラメータは t=1/2,θ=−α/2(mod2π)t=1/2,\theta=-\alpha/2\pmod{2\pi} であり、そこで

rθ=(0,a,0),rt=(0,−2b,2),rθt⋅e=2b,rtt=0.\boldsymbol r_\theta=(0,a,0),\qquad \boldsymbol r_t=(0,-2b,2),\qquad \boldsymbol r_{\theta t}\cdot\boldsymbol e=2b,\qquad \boldsymbol r_{tt}=0.

したがって曲率公式から

K(W)=−4b2a2(4b2+4)−4a2b2=−b2a2=−tan⁡2α2.\boxed{K(W)=\frac{-4b^2}{a^2(4b^2+4)-4a^2b^2} =-\frac{b^2}{a^2}=-\tan^2\frac\alpha2.}

IV​

すべての点で rtt=0\boldsymbol r_{tt}=0 なので、曲率公式の分子は −(rθt⋅e)2≤0-(\boldsymbol r_{\theta t}\cdot\boldsymbol e)^2\le0。一方、分母は

D=(rθ⋅rθ)(rt⋅rt)−(rθ⋅rt)2=(6−2cos⁡α)(2−2cos⁡α)(t−1/2)2+2(1+cos⁡α)>0\begin{aligned} D&=(\boldsymbol r_\theta\cdot\boldsymbol r_\theta) (\boldsymbol r_t\cdot\boldsymbol r_t)-(\boldsymbol r_\theta\cdot\boldsymbol r_t)^2\\ &=(6-2\cos\alpha)(2-2\cos\alpha)(t-1/2)^2+2(1+\cos\alpha)>0 \end{aligned}

である（0≤α<π0\le\alpha<\pi）。よって K≤0\boxed{K\le0}。

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