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東京大学 工学系研究科 2016年8月実施 数学 第3問

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祭音Myyura

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出典：公式2017年度数学試験、第3問。

次の問いに答えよ。ただし, iiは虚数単位であり, eeは自然対数の底, log⁡\log は自然対数である。

(I)​

次の定積分 II を考える。

I=∫02πcos⁡θdθ(2+cos⁡θ)2\begin{align} I = \int_0^{2\pi} \frac{\cos\theta \text{d}\theta}{(2 + \cos\theta)^2} \end{align}

1.​

定積分 II を複素数 zz を用いて複素関数積分

∮∣z∣=1G(z)dz\begin{align} \oint_{\mid z \mid = 1}G(z)\text{d}z \end{align}

の形に書き直したときの複素関数 G(z)G(z) を求めよ。ただし, 積分路は単位円周上を反時計回リに一周するものとする。

2.​

全ての極とその極の位数, および留数を求めよ。

3.​

積分IIを求めよ。

(II)​

実数パラメータα,β\alpha ,\betaをもつ実数θ\thetaの関数

f(θ;α,β)=1+e2iβ+αei(θ+β)\begin{align} f(\theta;\alpha,\beta) = 1 + e^{2i\beta} + \alpha e^{i(\theta + \beta)} \end{align}

に対して以下の定積分F(α,β)F(\alpha,\beta)を考える。

F(α,β)=∫02πdθddθ[log⁡f(θ;α,β)]\begin{align} F(\alpha ,\beta) = \int_0^{2\pi} \text{d}\theta \frac{\text{d}}{\text{d}\theta}[\log f(\theta;\alpha,\beta)] \end{align}

1.​

定積分F(α,β)F(\alpha,\beta)を複素数zzを用いて複素関数積分

∮∣z∣=1G(z)dz\begin{align} \oint_{\mid z \mid = 1} G(z) \text{d}z \end{align}

の形に書き直したときの複素関数G(z)G(z)を求めよ。ただし,　積分路は単位円周上を反時計回リに一周するものとする。

2.​

全ての極とその極の位数, および留数を求めよ。

3.​

パラメータα,β\alpha ,\betaを場合分けして, F(α,β)F(\alpha,\beta)の値を求めよ。ただし,　極が積分路上にある場合は考えなくて良い。

题目描述​

设 ii 为虚数单位，ee 为自然对数的底，log⁡\log 表示自然对数。

I. 对

I=∫02πcos⁡θ(2+cos⁡θ)2 dθ,I=\int_0^{2\pi}\frac{\cos\theta}{(2+\cos\theta)^2}\,\mathrm d\theta,

作代换 z=eiθz=e^{i\theta}，把它写成沿单位圆逆时针一周的围道积分 ∮∣z∣=1G(z) dz\oint_{|z|=1}G(z)\,\mathrm dz；求 G(z)G(z) 的全部极点、各极点阶数和留数，并据此算出 II。

II. 对实参数 α,β\alpha,\beta，令

f(θ;α,β)=1+e2iβ+αei(θ+β),F(α,β)=∫02πddθlog⁡f(θ;α,β) dθ.f(\theta;\alpha,\beta)=1+e^{2i\beta}+\alpha e^{i(\theta+\beta)},\qquad F(\alpha,\beta)=\int_0^{2\pi}\frac{\mathrm d}{\mathrm d\theta} \log f(\theta;\alpha,\beta)\,\mathrm d\theta.

同样把 FF 化为单位圆上的围道积分并求相应的 G(z)G(z)；找出全部极点、阶数和留数；最后根据实参数 α,β\alpha,\beta 分类计算 F(α,β)F(\alpha,\beta)。极点恰在积分路径上的情形无需讨论。

Kai​

I.1​

z=eiθz=e^{i\theta} とおくと cos⁡θ=(z+z−1)/2\cos\theta=(z+z^{-1})/2、dθ=dz/(iz)\mathrm d\theta=\mathrm dz/(iz)。したがって

G(z)=2(z2+1)i(z2+4z+1)2.\boxed{G(z)=\frac{2(z^2+1)}{i(z^2+4z+1)^2}.}

I.2​

a=−2+3,b=−2−3a=-2+\sqrt3,b=-2-\sqrt3 とおく。極は a,ba,b の2点で、いずれも2位である。ab=1ab=1 を用いると、

Res⁡(G,a)=2i[ddzz2+1(z−b)2]z=a=−4(ab+1)i(a−b)3=i33,\operatorname{Res}(G,a) =\frac2i\left[\frac{\mathrm d}{\mathrm dz}\frac{z^2+1}{(z-b)^2}\right]_{z=a} =-\frac{4(ab+1)}{i(a-b)^3} =\boxed{\frac{i}{3\sqrt3}},
Res⁡(G,b)=−i33.\boxed{\operatorname{Res}(G,b)=-\frac{i}{3\sqrt3}}.

I.3​

単位円内の極は aa のみなので、留数定理より

I=2πii33=−2π33.\boxed{I=2\pi i\frac{i}{3\sqrt3}=-\frac{2\pi}{3\sqrt3}.}

II.1–2​

f≠0f\ne0 の範囲で対数微分を f′/ff'/f と解釈する。f=eiβ(2cos⁡β+αz)f=e^{i\beta}(2\cos\beta+\alpha z) より、

G(z)=ααz+2cos⁡β.\boxed{G(z)=\frac{\alpha}{\alpha z+2\cos\beta}.}

α≠0\alpha\ne0 のとき、極は z=−2cos⁡β/αz=-2\cos\beta/\alpha の1点で、1位、留数は 11。

α=0,cos⁡β≠0\alpha=0,\cos\beta\ne0 のときは G=0G=0 で極はない。α=0,cos⁡β=0\alpha=0,\cos\beta=0 では f≡0f\equiv0 となり、FF は定義されない。

II.3​

留数定理より

F(α,β)={2πi,∣α∣>2∣cos⁡β∣,0,∣α∣<2∣cos⁡β∣.\boxed{F(\alpha,\beta)= \begin{cases} 2\pi i,&|\alpha|>2|\cos\beta|,\\ 0,&|\alpha|<2|\cos\beta|. \end{cases}}

∣α∣=2∣cos⁡β∣≠0|\alpha|=2|\cos\beta|\ne0 は積分路上に極があるため除外される。

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