東京大学 工学系研究科 2016年8月実施 数学 第3問

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次の問いに答えよ。ただし, $i$は虚数単位であり, $e$は自然対数の底, $\log$ は自然対数である。

(I)

次の定積分 $I$ を考える。

$$\begin{align} I = \int_0^{2\pi} \frac{\cos\theta \text{d}\theta}{(2 + \cos\theta)^2} \end{align}$$

1.

定積分 $I$ を複素数 $z$ を用いて複素関数積分

$$\begin{align} \oint_{\mid z \mid = 1}G(z)\text{d}z \end{align}$$

の形に書き直したときの複素関数 $G(z)$ を求めよ。ただし, 積分路は単位円周上を反時計回リに一周するものとする。

2.

全ての極とその極の位数, および留数を求めよ。

3.

積分$I$を求めよ。

(II)

実数パラメータ$\alpha ,\beta$をもつ実数$\theta$の関数

$$\begin{align} f(\theta;\alpha,\beta) = 1 + e^{2i\beta} + \alpha e^{i(\theta + \beta)} \end{align}$$

に対して以下の定積分$F(\alpha,\beta)$を考える。

$$\begin{align} F(\alpha ,\beta) = \int_0^{2\pi} \text{d}\theta \frac{\text{d}}{\text{d}\theta}[\log f(\theta;\alpha,\beta)] \end{align}$$

1.

定積分$F(\alpha,\beta)$を複素数$z$を用いて複素関数積分

$$\begin{align} \oint_{\mid z \mid = 1} G(z) \text{d}z \end{align}$$

の形に書き直したときの複素関数$G(z)$を求めよ。ただし,　積分路は単位円周上を反時計回リに一周するものとする。

2.

全ての極とその極の位数, および留数を求めよ。

3.

パラメータ$\alpha ,\beta$を場合分けして, $F(\alpha,\beta)$の値を求めよ。ただし,　極が積分路上にある場合は考えなくて良い。

题目描述

设 $i$ 为虚数单位，$e$ 为自然对数的底，$\log$ 表示自然对数。

I. 对

$$I=\int_0^{2\pi}\frac{\cos\theta}{(2+\cos\theta)^2}\,\mathrm d\theta,$$

作代换 $z=e^{i\theta}$，把它写成沿单位圆逆时针一周的围道积分 $\oint_{|z|=1}G(z)\,\mathrm dz$；求 $G(z)$ 的全部极点、各极点阶数和留数，并据此算出 $I$。

II. 对实参数 $\alpha,\beta$，令

$$f(\theta;\alpha,\beta)=1+e^{2i\beta}+\alpha e^{i(\theta+\beta)},\qquad F(\alpha,\beta)=\int_0^{2\pi}\frac{\mathrm d}{\mathrm d\theta} \log f(\theta;\alpha,\beta)\,\mathrm d\theta.$$

同样把 $F$ 化为单位圆上的围道积分并求相应的 $G(z)$；找出全部极点、阶数和留数；最后根据实参数 $\alpha,\beta$ 分类计算 $F(\alpha,\beta)$。极点恰在积分路径上的情形无需讨论。

考点

• 围道积分：用 $z=e^{i\theta}$、$\cos\theta=(z+z^{-1})/2$ 将三角积分化为单位圆上的有理函数积分。
• 留数定理：判断哪些极点位于单位圆内部，并以内部留数之和计算闭合积分。
• 高阶极点的留数：对二阶极点使用求导公式准确提取 $(z-z_0)^{-1}$ 项系数。
• 辐角原理与绕数：把对数导数积分解释为曲线绕原点的次数，并由零点是否落在单位圆内作参数分类。

Kai

(I)

1.

$z = e^{i\theta}$とおく。

$$\begin{aligned} dz &= ie^{i \theta} \Leftrightarrow \text{d} \theta = \frac{\text{d}z}{iz} \\ \cos\theta &= \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} = \frac{1}{2}\big(z + \frac{1}{z}\big) \end{aligned}$$

であるから,　

$$\begin{aligned} I &= \oint_{\mid z \mid = 1} \frac{\frac{1}{2}(z+\frac{1}{z})}{\big(2 + \frac{1}{2}(z + \frac{1}{z})\big)^2} \frac{\text{d}z}{iz} \\ G(z) &= \frac{1}{2iz^2} \frac{z^2 + 1}{\frac{1}{4}\big(4 + 4z + \frac{1}{z}\big)^2} \\ &= \frac{2}{i} \frac{z^2 + 1}{(z^2 + 4z + 1)^2} \end{aligned}$$

2.

$z^2 + 4z + 1 = 0$とすると,　$z = -2 \pm \sqrt{3}$。以下,　式が見づらくなるので, $\alpha = -2 + \sqrt{3}, \beta =-2 - \sqrt{3}$と書く。$G(z)$は,

$$G(z) = \frac{2}{i}\frac{z^2 + 1}{(z - \alpha)^2(z - \beta)^2}$$

となるので,　極は$z = -2 \pm \sqrt{3}$の2つで,　それぞれ2位。$z = \alpha$における留数は,

$$\begin{aligned} \text{Res}_{z = \alpha} G(z) &= \lim_{z \rightarrow \alpha} \frac{\text{d}}{\text{d}z}(z - \alpha)^2G(z) \\ &= \frac{2}{i}\lim_{z \rightarrow \alpha} \frac{\text{d}}{\text{d}z} \frac{z^2 + 1}{(z - \beta)^2} \\ &= \frac{2}{i}\lim_{z \rightarrow \alpha} \frac{2z(z - \beta)^2 - (z^2 + 1)(2z - 2\beta)}{(z - \beta)^4} \\ &= \frac{2}{i}\lim_{z \rightarrow \alpha} \frac{-2\beta z^2 + (2\beta ^2 - 2)z + 2\beta}{(z - \beta)^4} \\ &= \frac{2}{i} \frac{-2\beta \alpha ^2 + \alpha(2\beta^2 - 2) + 2\beta}{(\alpha - \beta)^4} \\ &= \frac{4}{i} \frac{-(\alpha - \beta)(1 +\alpha \beta)}{(\alpha - \beta)^4} \\ &= \frac{4}{i} \frac{-2\sqrt{3}(1 + 1)}{(2\sqrt{3})^4} = -\frac{1}{i}\frac{\sqrt{3}}{9} \end{aligned}$$

$z = \beta$における留数も同様にして計算でき,

$$\text{Res}_{z = \beta} G(z)= \frac{4}{i} \frac{-(\beta - \alpha)(1 + \beta \alpha)}{(\beta - \alpha)^4} = \frac{1}{i}\frac{\sqrt{3}}{9}$$

3.

$z = 1$内の極は$z = \alpha$のみであることに注意して,　留数定理より,　

$$\begin{aligned} I &= \oint_{\mid z \mid = 1}G(z)\text{d}z \\ &= 2\pi i \text{Res}_{z = \beta} G(z) \\ &= 2\pi i \cdot \big(-\frac{1}{i} \frac{\sqrt{3}}{9}\big) = -\frac{2\sqrt{3}}{9} \pi \end{aligned}$$

(II)

1.

$$\begin{aligned} \frac{\text{d}}{\text{d}\theta}[\log f(\theta;\alpha ,\beta)] &= \frac{f'(\theta)}{f(\theta)}\\ &= \frac{i \alpha e^{i(\theta + \beta)}}{1 + e^{2i \beta} + \alpha e^{i(\theta + \beta)}} \\ &= \frac{i \alpha e^{i\beta}z}{1 + e^{2i \beta} + \alpha e^{i\beta}z} \quad (z = e^{i \theta}) \\ &= \frac{iz}{z + \frac{e^{i\beta}+e^{-i\beta}}{\alpha}} \\ &= \frac{iz}{z + \frac{2}{\alpha}\cos \beta} \end{aligned}$$

であるから,

$$F(\alpha,\beta) = \oint_{\mid z \mid =1} \frac{\text{d}z}{iz} \frac{iz}{z + \frac{2}{\alpha} \cos \beta} = \oint_{\mid z \mid = 1} \frac{\text{d}z}{z + \frac{2}{\alpha}\cos \beta}$$

$$\therefore G(z) = \frac{1}{z + \frac{2}{\alpha}\cos \beta}$$

2.

$\alpha = 0$のとき,　極は存在しない。

$\alpha \neq 0$のとき,　極は$z = -\frac{2}{\alpha}\cos \beta$の1つで, 1位.

留数は,

$$\lim_{z \rightarrow -\frac{2}{\alpha} \cos \beta}(z + \frac{2}{\alpha}\cos \beta)G(z) = 1$$

3.

$\alpha,\beta$は実数だから, 極$z = -\frac{2}{\alpha}\cos \beta$は実軸上に存在する。この極が, $z = 1$の内部にあるときと,　外部にある時で場合分けすれば良い。

(i)

$\big|-\frac{2}{\alpha}\cos \beta \big| < 1$かつ$\alpha \neq 0$のとき,　極は$z = 1$内に存在し,　留数定理より,　

$$F(\alpha,\beta) = 2\pi i \cdot 1 =2\pi i$$

(ii)

$\big|-\frac{2}{\alpha}\cos \beta \big| > 1$または$\alpha = 0$のとき,　$z = 1$内に極は存在しないので,　

$$F(\alpha,\beta) = 0$$