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東京大学 工学系研究科 2016年8月実施 数学 第2問

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次の3次正方行列式AAに関する以下の問いに答えよ。

A=(301−12−1−2−21)\begin{aligned} A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -2 & -2 & 1 \\ \end{pmatrix} \end{aligned}

(I)​

行列式AAの固有値を全て求めよ。

(II)​

行列式AnA^{n}を求めよ。ただし,　nnは自然数とする。

(III)​

3次正方行列式BBは対角化可能で,　AB=BAAB = BAの関係を満たすものとする。行列AAの任意の固有ベクトルppは,　行列BBの固有ベクトルでもあることを示せ。

(IV)​

B2=AB^2 = Aの関係を満たす3次正方行列BBを求めよ。ただし,　行列BBはその固有値が全て正となる対角化可能な行列とする。

(V)​

3次正方行列XXは対角化可能で,　AX=XAAX = XAの関係を満たすものとする。tr(AX)=d\text{tr}(AX) = dのとき,　det(AX)\text{det}(AX)の最大値をddの関数として求めよ。ただし,　ddは正の実数とし,　行列XXの固有値全て正とする。また,　tr(M)\text{tr}(M)は正方行列MMのトレース　(主対角成分の和)　であり,　det(M)\text{det}(M)は行列MMの行列式である。

Kai​

(I)​

固有値λ\lambdaをとおくと, ∣A−λI∣=0\mid A - \lambda I \mid = 0 より,

∣3−λ01−12−λ−1−2−21−λ∣=0\begin{aligned} \begin{vmatrix} 3 - \lambda & 0 & 1 \\ -1 & 2 - \lambda & -1 \\ -2 & -2 & 1 - \lambda \end{vmatrix} = 0 \end{aligned}
(3−λ)∣2−λ−1−21−λ∣+∣−12−λ−2−2∣=0\begin{aligned} (3-\lambda) \begin{vmatrix} 2 - \lambda & -1 \\ -2 & 1 - \lambda \\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} -1 & 2 - \lambda \\ -2 & -2 \\ \end{vmatrix} = 0 \end{aligned}
(3−λ)((2−λ)(1−λ)−2)+2+2(2−λ)=0(3 - \lambda)\big((2 - \lambda)(1 - \lambda) - 2\big) + 2 + 2(2 - \lambda) = 0
(λ−1)(λ−2)(λ−3)=0(\lambda - 1)(\lambda - 2)(\lambda - 3) = 0
λ=1,2,3\lambda = 1 , 2, 3

(II)​

行列AAを対角化する。固有値λ=1,2,3\lambda = 1 , 2, 3に対応する固有ベクトルをそれぞれu1,u2,u3u_1,u_2,u_3とすると,

(A−I)u1=(201−11−1−2−20)u1=o⇒u1=(1−1−2)(A−2I)u2=(101−10−1−2−2−1)u2=o⇒u2=(2−1−2)(A−3I)u3=(001−1−1−1−2−2−2)u3=o⇒u3=(1−10)\begin{aligned} (A - I)u_1 &= \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \\ -2 & -2 & 0 \\ \end{pmatrix}u_1 = o \Rightarrow u_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -2 \\ \end{pmatrix} \\ (A - 2I)u_2 &= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \\ -2 & -2 & -1 \\ \end{pmatrix}u_2 = o \Rightarrow u_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -2 \\ \end{pmatrix} \\ (A - 3I)u_3 &= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \\ -2 & -2 & -2 \\ \end{pmatrix}u_3 = o \Rightarrow u_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ \end{pmatrix} \end{aligned}

となる。ここで行列PPを ,

P=(u1u2u3)=(121−1−1−1−2−20)P = \begin{pmatrix} u_1 & u_2 & u_3 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \\ -2 & -2 & 0 \\ \end{pmatrix}

とおくと,　以下のように対角化できる。

P−1AP=(100020003)P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \\ \end{pmatrix}

行列P−1P^{-1}を掃き出し法で計算する。

(121100−1−1−1010−2−20001)⇒(121100010110022201)⇒(101−1−200101100020−21)⇒(100−1−1−1/20101100010−11/2)∴P−1=12(−2−2−12200−21)\begin{aligned} &\quad\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ -2 & -2 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \\ &\Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 2 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \\ &\Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & -1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & -2 & 1 \\ \end{pmatrix} \\ &\Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1/2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 1/2 \\ \end{pmatrix} \\ \therefore \quad &P^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -2 & -2 & -1 \\ 2 & 2 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \\ \end{pmatrix} \end{aligned}

よってAnA^{n}は以下のように計算できる。

A=P(100020003)P−1An=P(10002n0003n)P−1=12(121−1−1−1−2−20)(10002n0003n)(−2−2−12200−21)=12(12⋅2n3n−1−2n−3n−2−2⋅2n0)(−2−2−12200−21)=12(−2+4⋅2n−2+4⋅2n−2⋅3n−1+3n2−2⋅2n2−2⋅2n+3n1−3n4−4⋅2n4−4⋅2n2)=(−1+2⋅2n−1+2⋅2n−3n(−1+3n)/21−2n1−2n+3n(1−3n)/22−2⋅2n2−2⋅2n1)\begin{aligned} A &= P \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \\ \end{pmatrix}P^{-1} \\ A^{n} &= P \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2^{n} & 0 \\ 0 & 0 & 3^{n} \\ \end{pmatrix}P^{-1} \\ &=\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \\ -2 & -2 & 0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2^{n} & 0 \\ 0 & 0 & 3^{n} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 & -2 & -1 \\ 2 & 2 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \\ \end{pmatrix} \\ &=\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 2 \cdot 2^{n} & 3^{n} \\ -1 & -2^{n} & -3^{n} \\ -2 & -2 \cdot 2^{n} & 0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 & -2 & -1 \\ 2 & 2 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \\ \end{pmatrix} \\ &=\frac{1}{2} \begin{pmatrix} -2 + 4 \cdot 2^{n} & -2 + 4 \cdot 2^{n} - 2 \cdot 3^{n} & -1 + 3^{n} \\ 2 - 2 \cdot 2^{n} & 2 - 2 \cdot 2^{n} + 3^{n} & 1 - 3^{n} \\ 4 - 4 \cdot 2^{n} & 4 - 4 \cdot 2^{n} & 2 \\ \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} -1 + 2 \cdot 2^{n} & -1 + 2 \cdot 2^{n} - 3^{n} & (-1 + 3^{n})/2 \\ 1 - 2^{n} & 1 - 2^{n} + 3^{n} & (1 - 3^{n})/2 \\ 2 - 2 \cdot 2^{n} & 2 - 2 \cdot 2^{n} & 1 \\ \end{pmatrix} \end{aligned}

(III)​

ppが行列AAの固有値λ\lambdaに対する固有ベクトルのとき,

Ap=λpAp = \lambda p

左からBBを掛けて式変形すると,

BAp=λBpABp=λBpA(Bp)=λ(Bp)\begin{aligned} BAp &= \lambda Bp \\ ABp &= \lambda Bp \\ A(Bp) &= \lambda(Bp) \end{aligned}

となり,　これはベクトル BpBp が AA の固有値 λ\lambda に対する固有ベクトルの1つであることを示す。ある固有値に対する固有ベクトルの集まりはすべて平行であるから,　適当な定数 cc により,　

Bp=cpBp = cp

とかける。これは,　ppが行列BBの固有値ccに対する固有ベクトルであることを意味し,　題意のことが示された。

(IV)​

BBの正の固有値をb1,b2,b3b_1,b_2,b_3とおくと,　(III)の性質より(II)のPPを用いて,　

P−1BP=(b1000b2000b3)P^{-1}BP = \begin{pmatrix} b_1 & 0 & 0 \\ 0 & b_2 & 0 \\ 0 & 0 & b_3 \\ \end{pmatrix}

と対角化できる。B2=AB^2 = Aより,

P−1B2P=(b12000b22000b32)P^{-1}B^2P = \begin{pmatrix} b_1^2 & 0 & 0 \\ 0 & b_2^2 & 0 \\ 0 & 0 & b_3^2 \\ \end{pmatrix}
P−1AP=(b12000b22000b32)=(100020003)P^{-1}AP = \begin{pmatrix} b_1^2 & 0 & 0 \\ 0 & b_2^2 & 0 \\ 0 & 0 & b_3^2 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \\ \end{pmatrix}
∴b1=1,b2=2,b3=3\therefore b_1 = 1 ,b_2 = \sqrt{2} ,b_3 = \sqrt{3}

よって,

B=P(100020003)P−1=12(121−1−1−1−2−20)(100020003)(−2−2−12200−21)=12(1223−1−2−3−2−220)(−2−2−12200−21)=12(−2+42−2+42−23−1+32−222−22+231−34−424−422)=12(−1+22−1+22−3(−1+3)/21−21−2+3(1−3)/22−222−221)\begin{aligned} B &= P \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{2} & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{3} \\ \end{pmatrix} P^{-1} \\ &=\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \\ -2 & -2 & 0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \sqrt{2} & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{3} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 & -2 & -1 \\ 2 & 2 & 0 \\ 0 & -2 & 1\\ \end{pmatrix}\\ &=\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 2\sqrt{2} & \sqrt{3} \\ -1 & -\sqrt{2} & -\sqrt{3} \\ -2 & -2\sqrt{2} & 0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 & -2 & -1 \\ 2 & 2 & 0 \\ 0 & -2 & 1\\ \end{pmatrix}\\ &=\frac{1}{2} \begin{pmatrix} -2 + 4\sqrt{2} & -2 + 4\sqrt{2} - 2 \sqrt{3} & -1 + \sqrt{3} \\ 2 - 2 \sqrt{2} & 2 - 2\sqrt{2} + 2\sqrt{3} & 1 - \sqrt{3} \\ 4 - 4\sqrt{2} & 4 - 4\sqrt{2} & 2 \\ \end{pmatrix}\\ &=\frac{1}{2} \begin{pmatrix} -1 + 2\sqrt{2} & -1 + 2\sqrt{2} - \sqrt{3} & (-1 + \sqrt{3})/2 \\ 1 - \sqrt{2} & 1 - \sqrt{2} + \sqrt{3} & (1 - \sqrt{3})/2 \\ 2 - 2\sqrt{2} & 2 - 2\sqrt{2} & 1 \\ \end{pmatrix}\\ \end{aligned}

(V)​

XXの正の固有値をx1,x2,x3x_1,x_2,x_3とおくと,　(III)の性質より(II)のPPを用いて,　

P−1XP=(x1000x2000x3)(≡D)P^{-1}XP = \begin{pmatrix} x_1 & 0 & 0 \\ 0 & x_2 & 0 \\ 0 & 0 & x_3 \\ \end{pmatrix} (\equiv D)

と対角化できる。

(P−1AP)(P−1XP)=(100020003)(x1000x2000x3)P−1(AX)P=(x10002x20003x3)tr(P−1(AX)P)=x1+x2+x3\begin{aligned} (P^{-1}AP)(P^{-1}XP) &= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 & 0 & 0 \\ 0 & x_2 & 0 \\ 0 & 0 & x_3 \\ \end{pmatrix}\\ P^{-1}(AX)P &= \begin{pmatrix} x_1 & 0 & 0 \\ 0 & 2x_2 & 0 \\ 0 & 0 & 3x_3 \\ \end{pmatrix}\\ \text{tr}(P^{-1}(AX)P) &= x_1 + x_2 + x_3 \end{aligned}

ここでトレースの性質,　tr(P−1AP)=tr(PP−1A)=trA\text{tr}(P^{-1}AP) = \text{tr}(PP^{-1}A) = \text{tr}A から,　

tr(AX)=x1+2x2+3x3=d\text{tr}(AX) = x_1 + 2x_2 + 3x_3 = d

である。X=PDP−1X = PDP^{-1}

det(AX)=det(A)det(X)=det(A)det(PDP−1)=det(A)det(P)det(D)det(P−1)\begin{aligned} \text{det}(AX) &= \text{det}(A) \text{det}(X) \\ &=\text{det}(A) \text{det}(PDP^{-1}) \\ &= \text{det}(A) \text{det}(P) \text{det}(D) \text{det}(P^{-1}) \end{aligned}

ここで,　det(P−1)=1/det(P),det(A)=1+2+3=6\text{det}({P^{-1}}) = 1 / \text{det}(P), \text{det}(A) = 1 + 2 + 3 = 6 より,

AX=6x1x2x3\text{AX} = 6x_1x_2x_3

x1+2x2+3x3=dx_1 + 2x_2 + 3x_3 = dの関係より,

det(AX)=6(d−2x2−3x3)x2x3(≡f(x2,x3))\text{det}(AX) = 6(d - 2x_2 -3x_3)x_2x_3 \quad(\equiv f(x_2,x_3))

の最大値を求めよ。f(x2,x3)f(x_2,x_3)は,

∂f∂x2=6dx3−24x2x3−18x32=0∂f∂x3=6dx2−36x2x3−12x22=0\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x_2} &= 6dx_3 - 24x_2x_3 - 18x_3^2 = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial x_3} &= 6dx_2 -36x_2x_3 - 12x_2^2 = 0 \\ \end{aligned}

より, (x2,x3)=(d/6,d/9)(x_2,x_3) = (d/6,d/9) で極値を取る。このとき,

∣∂2f∂x22∂2f∂x2∂x3∂2f∂x3∂x2∂2f∂x32∣=∣−24x36d−24x2−36x36d−24x2−36x3−36x2∣=12d2>0\begin{aligned} & \quad \begin{vmatrix} \frac{\partial ^2 f}{\partial x_2^2} & \frac{\partial ^2 f}{\partial x_2 \partial x_3} \\ \frac{\partial ^2 f}{\partial x_3 \partial x_2} & \frac{\partial ^2 f}{\partial x_3^2} \\ \end{vmatrix}\\ &= \begin{vmatrix} -24x_3 & 6d - 24x_2 - 36x_3 \\ 6d - 24x_2 -36x_3 & -36x_2 \\ \end{vmatrix}\\ &=12d^2 > 0 \end{aligned}

となり,　∂2f∂x22∣(d6,d9)=−24⋅d9<0\frac{\partial ^2 f}{\partial x_2^2} \bigg|_{(\frac{d}{6},\frac{d}{9})} = -24 \cdot \frac{d}{9} < 0であるから,　f(d/6,d/9)f(d/6,d/9)は極大値である。したがって,　求めるdet(AX)\text{det}(AX)の最大値は,　

f(d/6,d/9)=6(d−d3−d3)⋅d6⋅d9=d327f(d/6,d/9) = 6\big(d - \frac{d}{3} - \frac{d}{3}\big) \cdot \frac{d}{6} \cdot \frac{d}{9} = \frac{d^3}{27}
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