跳到主要内容

東京大学 工学系研究科 2016年8月実施 数学 第2問

标签：

Author​

祭音Myyura

Description​

出典：公式2017年度数学試験、第2問。

次の3次正方行列AAに関する以下の問いに答えよ。

A=(301−12−1−2−21)\begin{aligned} A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -2 & -2 & 1 \\ \end{pmatrix} \end{aligned}

(I)​

行列AAの固有値を全て求めよ。

(II)​

行列AnA^{n}を求めよ。ただし,　nnは自然数とする。

(III)​

3次正方行列BBは対角化可能で,　AB=BAAB = BAの関係を満たすものとする。行列AAの任意の固有ベクトルppは,　行列BBの固有ベクトルでもあることを示せ。

(IV)​

B2=AB^2 = Aの関係を満たす3次正方行列BBを求めよ。ただし,　行列BBはその固有値が全て正となる対角化可能な行列とする。

(V)​

3次正方行列XXは対角化可能で,　AX=XAAX = XAの関係を満たすものとする。tr(AX)=d\text{tr}(AX) = dのとき,　det(AX)\text{det}(AX)の最大値をddの関数として求めよ。ただし,　ddは正の実数とし,　行列XXの固有値全て正とする。また,　tr(M)\text{tr}(M)は正方行列MMのトレース　(主対角成分の和)　であり,　det(M)\text{det}(M)は行列MMの行列式である。

题目描述​

给定三阶方阵

A=(301−12−1−2−21),A=\begin{pmatrix} 3&0&1\\ -1&2&-1\\ -2&-2&1 \end{pmatrix},

回答以下问题：

  1. 求 AA 的全部特征值。
  2. 对自然数 nn，求 AnA^n 的显式表达式。
  3. 设三阶方阵 BB 可对角化且满足 AB=BAAB=BA，证明 AA 的任意特征向量也是 BB 的特征向量。
  4. 求满足 B2=AB^2=A 的三阶方阵 BB，其中 BB 可对角化且全部特征值为正。
  5. 设三阶方阵 XX 可对角化、满足 AX=XAAX=XA，且全部特征值为正。已知 tr⁡(AX)=d\operatorname{tr}(AX)=d，其中 d>0d>0，求 det⁡(AX)\det(AX) 关于 dd 的最大值。

Kai​

I​

det⁡(λI−A)=(λ−1)(λ−2)(λ−3),\det(\lambda I-A)=(\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda-3),

したがって固有値は 1,2,3\boxed{1,2,3}。

II​

各固有値に対応する固有ベクトルを列に並べると、

P=(121−1−1−1−2−20),P−1=12(−2−2−12200−21),P=\begin{pmatrix}1&2&1\\-1&-1&-1\\-2&-2&0\end{pmatrix},\qquad P^{-1}=\frac12\begin{pmatrix}-2&-2&-1\\2&2&0\\0&-2&1\end{pmatrix},
A=Pdiag⁡(1,2,3)P−1.A=P\operatorname{diag}(1,2,3)P^{-1}.

ゆえに

An=(−1+2n+1−1+2n+1−3n(3n−1)/21−2n1−2n+3n(1−3n)/22−2n+12−2n+11).\boxed{A^n=\begin{pmatrix} -1+2^{n+1}&-1+2^{n+1}-3^n&(3^n-1)/2\\ 1-2^n&1-2^n+3^n&(1-3^n)/2\\ 2-2^{n+1}&2-2^{n+1}&1 \end{pmatrix}.}

III​

Ap=λpAp=\lambda p と AB=BAAB=BA より

A(Bp)=B(Ap)=λBp.A(Bp)=B(Ap)=\lambda Bp.

AA の固有値は相異なるので、その各固有空間は1次元である。したがって Bp=cpBp=cp と書ける（Bp=0Bp=0 なら c=0c=0）。よって pp は BB の固有ベクトルでもある。

IV​

B2=AB^2=A なら AB=B3=BAAB=B^3=BA。III より BB も II の PP で対角化でき、その固有値は正なので 1,2,31,\sqrt2,\sqrt3 である。よって

B=Pdiag⁡(1,2,3)P−1\boxed{B=P\operatorname{diag}(1,\sqrt2,\sqrt3)P^{-1}}
=(−1+22−1+22−3(3−1)/21−21−2+3(1−3)/22−222−221).=\begin{pmatrix} -1+2\sqrt2&-1+2\sqrt2-\sqrt3&(\sqrt3-1)/2\\ 1-\sqrt2&1-\sqrt2+\sqrt3&(1-\sqrt3)/2\\ 2-2\sqrt2&2-2\sqrt2&1 \end{pmatrix}.

V​

III より P−1XP=diag⁡(x1,x2,x3)P^{-1}XP=\operatorname{diag}(x_1,x_2,x_3)（xi>0x_i>0）。したがって

tr⁡(AX)=x1+2x2+3x3=d,det⁡(AX)=x1(2x2)(3x3).\operatorname{tr}(AX)=x_1+2x_2+3x_3=d,\qquad \det(AX)=x_1(2x_2)(3x_3).

相加相乗平均の不等式により

det⁡(AX)≤(x1+2x2+3x33)3=d327.\det(AX)\le\left(\frac{x_1+2x_2+3x_3}{3}\right)^3=\frac{d^3}{27}.

x1=d/3,x2=d/6,x3=d/9x_1=d/3,x_2=d/6,x_3=d/9、すなわち X=(d/3)A−1X=(d/3)A^{-1} で等号が成立するので、

max⁡det⁡(AX)=d327.\boxed{\max\det(AX)=\frac{d^3}{27}.}
本页目录