東京大学 工学系研究科 2016年8月実施 数学 第1問

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Author

祭音Myyura

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出典：公式2017年度数学試験、第1問。

I、以下の定積分を求めよ。

$$\begin{align} I = \int_2^4 \frac{\text{d}x}{\sqrt{(x-2)(4-x)}} \tag{1} \end{align}$$

II、以下の微分方程式の一般解と特異解を求めよ。

$$\begin{align} y = x \frac{\text{d}y}{\text{d}x} + \frac{\text{d}y}{\text{d}x} + \bigg(\frac{\text{d}y}{\text{d}x} \bigg)^2 \tag{2} \end{align}$$

III、以下の微分方程式の一般解を求めよ。

$$\begin{align} x^2 \frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} - x \frac{\text{d}y}{\text{d}x} - 8y = x^2 \tag{3} \end{align}$$

题目描述

完成以下三问：

1. 计算定积分

   $$I=\int_2^4\frac{\mathrm dx}{\sqrt{(x-2)(4-x)}}.$$

2. 求微分方程

   $$y=x\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}+\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx} +\left(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\right)^2$$

   的一般解和奇解。

3. 求欧拉型非齐次微分方程

   $$x^2\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2} -x\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}-8y=x^2$$

   的一般解。

Kai

I

$x=3+\sin\theta$（$-\pi/2\le\theta\le\pi/2$）とおけば、

$$\boxed{I=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{\cos\theta}{\sqrt{1-\sin^2\theta}}\,\mathrm d\theta=\pi.}$$

II

$p=y'$ とおくと $y=(x+1)p+p^2$。微分して

$$(x+1+2p)p'=0.$$

$p=C$ のとき一般解、$p=-(x+1)/2$ のとき特異解が得られる：

$$\boxed{y=Cx+C+C^2},\qquad \boxed{y=-\frac{(x+1)^2}{4}}.$$

III

同次方程式に $y=x^r$ を代入すると、

$$r(r-1)-r-8=(r-4)(r+2)=0.$$

特解を $y_p=Ax^2$ とおけば $-8Ax^2=x^2$ より $A=-1/8$。したがって

$$\boxed{y=C_1x^{-2}+C_2x^4-\frac{x^2}{8},\qquad x\ne0.}$$

積分定数は $x>0$ と $x<0$ の各区間で独立に選べる。