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東京大学 工学系研究科 2016年8月実施 数学 第1問

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I、以下の定積分を求めよ。

II、以下の微分方程式の一般解と特異解を求めよ。

III、以下の微分方程式の一般解を求めよ。

Kai​

(I)​

置換

(II)​

で微分して

(i)​

のとき,

となり,　式()に代入すると,

である,　よって一般解 を得る。

(ii)​

のとき,

となり,　式()に代入すると,

である,　よって特異解 を得る。

(III)​

とおくと,

であるから,式()は,

となる。特性方程式 の解は,

だから,　斉次の一般解は 。

一方,　特解を と予想して式()に代入すると,

となり,　特解 を得る。よって求める一般解は,