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東京大学 工学系研究科 2015年8月実施 物理学 第2問

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

導電率 σ\sigma、誘電率 ε\varepsilon の物質からなる半径 aa、高さ h (h≫a)h\ (h\gg a) の円柱を真空中に置き、上下の端面に電極を取り付ける。図のように、円柱の中心軸に沿って電極から導線を延ばし、十分遠方の電流源とスイッチに接続する。電流源、スイッチおよび遠方の配線が作る場と、電極・配線の抵抗は無視する。端効果を無視し、電場は円柱内部で軸に平行な一様な場とする。真空の誘電率を ε0\varepsilon_0、円柱と真空の透磁率を μ0\mu_0 とする。電流は上部電極から下部電極へ流れる。

導電性誘電体の円柱と電極・電流源

I​

一定電流 I0I_0 が流れ、上下の電極にはそれぞれ一様に +Q0,−Q0+Q_0,-Q_0 が帯電している。

  1. 電極間の抵抗 RR を求めよ。
  2. 電流密度 j\boldsymbol j と円柱内部の電場 E\boldsymbol E の関係を書け。
  3. Gauss の法則を用いて I0I_0 と Q0Q_0 の関係を導け。
  4. 電極間の静電容量 CC を求めよ。
  5. 中心軸からの距離を rr として、磁束密度を円柱内 r≤ar\le a と円柱外 r>ar>a に分けて求めよ。

II​

t=0t=0 にスイッチを開くと、円柱内の伝導電流は

I(t)=I0exp⁡(−tRC)I(t)=I_0\exp\left(-\frac{t}{RC}\right)

と減衰する。電流密度は断面内で一様とする。

  1. 円柱内の変位電流を時間の関数として求めよ。
  2. 変位電流は上向きか下向きか。理由とともに答えよ。
  3. 磁束密度を r≤ar\le a と r>ar>a に分けて求めよ。

题目描述​

将由导电率 σ\sigma、介电常数 ε\varepsilon 的材料制成的圆柱置于真空中，半径为 aa，高度为 h≫ah\gg a，上下端面装有电极。导线沿圆柱中心轴从两电极引出，在远处连接电流源和开关。忽略电流源、开关和远处导线产生的场，以及电极和导线的电阻。忽略边缘效应，电场仅在圆柱内部存在，且沿轴向均匀分布。真空介电常数为 ε0\varepsilon_0，圆柱和真空的磁导率均为 μ0\mu_0。电流从上电极流向下电极。

I. 恒定电流 I0I_0 流过圆柱，上下电极分别均匀带电 +Q0,−Q0+Q_0,-Q_0。

  1. 求电极间电阻 RR。
  2. 写出电流密度 j\boldsymbol j 与圆柱内电场 E\boldsymbol E 的关系。
  3. 用 Gauss 定律推导 I0,Q0I_0,Q_0 的关系。
  4. 求电极间电容 CC。
  5. 以到中心轴的距离为 rr，分别求圆柱内 r≤ar\le a 和圆柱外 r>ar>a 的磁感应强度。

II. t=0t=0 时断开开关，圆柱内的传导电流按

I(t)=I0exp⁡(−tRC)I(t)=I_0\exp\left(-\frac{t}{RC}\right)

衰减，且电流密度在横截面上均匀。

  1. 求圆柱内的位移电流随时间的变化。
  2. 判断位移电流向上还是向下，并说明理由。
  3. 分别求 r≤ar\le a 和 r>ar>a 的磁感应强度。

Kai​

I​

断面積を A=πa2A=\pi a^2、下向きの単位ベクトルを ez\boldsymbol e_z とする。

  1. 電圧 V=EhV=Eh、電流 I0=σEAI_0=\sigma EA より、
R=hσπa2.\boxed{R=\frac{h}{\sigma\pi a^2}}.
  1. 局所的な Ohm の法則は
j=σE.\boxed{\boldsymbol j=\sigma\boldsymbol E}.
  1. 電極を囲む Gauss 面を取ると εEA=Q0\varepsilon EA=Q_0。したがって、
Q0=εσI0.\boxed{Q_0=\frac{\varepsilon}{\sigma}I_0}.
  1. C=Q0/VC=Q_0/V より、
C=επa2h,RC=εσ.\boxed{C=\frac{\varepsilon\pi a^2}{h}},\qquad RC=\frac{\varepsilon}{\sigma}.
  1. 下向き電流に対する右ねじ方向を eφ\boldsymbol e_\varphi とする。Ampère の法則 2πrB=μ0Ienc2\pi rB=\mu_0I_{\rm enc} から、
B(r)={μ0I0r2πa2eφ,0≤r≤a,μ0I02πreφ,r>a.\boxed{\boldsymbol B(r)= \begin{cases} \dfrac{\mu_0 I_0r}{2\pi a^2}\boldsymbol e_\varphi,&0\le r\le a,\\[4pt] \dfrac{\mu_0 I_0}{2\pi r}\boldsymbol e_\varphi,&r>a. \end{cases}}

II​

  1. 下向きを正とする変位電流は
ID=AdDdt=εσdIdt=−I0e−t/(RC).I_D=A\frac{dD}{dt} =\frac{\varepsilon}{\sigma}\frac{dI}{dt} =\boxed{-I_0e^{-t/(RC)}}.

  1. D\boldsymbol D は下向きで、その大きさが減少するので、∂D/∂t\partial\boldsymbol D/\partial t は上向きである。

  2. 各点で伝導電流密度と変位電流密度が打ち消し合う。

j+∂D∂t=0.\boldsymbol j+\frac{\partial\boldsymbol D}{\partial t}=\boldsymbol0.

よって Ampère–Maxwell の法則より、

B(r,t)=0(r≤a および r>a).\boxed{\boldsymbol B(r,t)=\boldsymbol0\qquad(r\le a\text{ および }r>a)}.
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