東京大学 工学系研究科 2015年8月実施 物理学 第1問 Author 祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)
Description 半径 r r r m m m r r r 3 m 3m 3 m r r r m m m θ \theta θ g g g N N N F F F ω \omega ω
S1 と S3 の中心を通る軸のまわりの慣性モーメント I 1 , I 3 I_1,I_3 I 1 , I 3
S1 が滑らずに斜面を転がる場合を考える。静止摩擦係数を μ 0 \mu_0 μ 0
重心の運動方程式、斜面に垂直な方向の力のつり合い、および重心のまわりの回転の運動方程式を書け。
重心の加速度を求め、滑らずに転がるための μ 0 \mu_0 μ 0 θ \theta θ
III
S1 を A から静かに放した直後から滑りながら転がる場合を考える。動摩擦係数を μ ( < μ 0 ) \mu\ (<\mu_0) μ ( < μ 0 ) F = μ N F=\mu N F = μ N t = 0 t=0 t = 0 q ( t ) q(t) q ( t )
滑りが生じない条件で S1、S2、S3 をそれぞれ A から静かに放す。A から斜面に沿って距離 l l l T 1 , T 2 , T 3 T_1,T_2,T_3 T 1 , T 2 , T 3 T 2 / T 1 T_2/T_1 T 2 / T 1 T 3 / T 1 T_3/T_1 T 3 / T 1
题目描述
考虑半径 r r r m m m r r r 3 m 3m 3 m r r r m m m θ \theta θ g g g N N N F F F ω \omega ω
I. 求 S1、S3 绕过球心的轴的转动惯量 I 1 , I 3 I_1,I_3 I 1 , I 3
II. S1 无滑动滚下，静摩擦系数为 μ 0 \mu_0 μ 0
写出质心运动方程、垂直于斜面的力平衡方程和绕质心的转动方程。
求质心加速度及无滑动条件下 μ 0 \mu_0 μ 0 θ \theta θ
III. S1 从 A 点静止释放后立即边滑边滚。动摩擦系数 μ < μ 0 \mu<\mu_0 μ < μ 0 F = μ N F=\mu N F = μ N t = 0 t=0 t = 0 q ( t ) q(t) q ( t )
IV. 在无滑动条件下分别从 A 点静止释放三球。B 点位于沿斜面向下距离 l l l T 1 , T 2 , T 3 T_1,T_2,T_3 T 1 , T 2 , T 3 T 2 / T 1 , T 3 / T 1 T_2/T_1,T_3/T_1 T 2 / T 1 , T 3 / T 1
Kai 中実球の密度を ρ = 3 m / ( 4 π r 3 ) \rho=3m/(4\pi r^3) ρ = 3 m / ( 4 π r 3 ) z z z d z dz d z
I 1 = ∫ − r r 1 2 ρ π ( r 2 − z 2 ) 2 d z = 2 5 m r 2 . I_1=\int_{-r}^{r}\frac12\rho\pi(r^2-z^2)^2\,dz
=\boxed{\frac25mr^2}. I 1 = ∫ − r r 2 1 ρ π ( r 2 − z 2 ) 2 d z = 5 2 m r 2 . 球殻の面密度は σ = m / ( 4 π r 2 ) \sigma=m/(4\pi r^2) σ = m / ( 4 π r 2 ) φ \varphi φ
I 3 = ∫ 0 π ( r sin φ ) 2 σ 2 π r 2 sin φ d φ = 2 3 m r 2 . I_3=\int_0^\pi(r\sin\varphi)^2\sigma\,2\pi r^2\sin\varphi\,d\varphi
=\boxed{\frac23mr^2}. I 3 = ∫ 0 π ( r sin φ ) 2 σ 2 π r 2 sin φ d φ = 3 2 m r 2 . 斜面下向きを x x x F F F
m x ¨ = m g sin θ − F , N = m g cos θ , I 1 ω ˙ = r F . m\ddot x=mg\sin\theta-F,\qquad N=mg\cos\theta,\qquad
I_1\dot\omega=rF. m x ¨ = m g sin θ − F , N = m g cos θ , I 1 ω ˙ = r F . 非滑り条件 x ˙ = r ω \dot x=r\omega x ˙ = r ω
x ¨ = 5 7 g sin θ , F = 2 7 m g sin θ . \boxed{\ddot x=\frac57g\sin\theta},\qquad
F=\frac27mg\sin\theta. x ¨ = 7 5 g sin θ , F = 7 2 m g sin θ . F ≤ μ 0 N F\le\mu_0N F ≤ μ 0 N
μ 0 ≥ 2 7 tan θ . \boxed{\mu_0\ge\frac27\tan\theta}. μ 0 ≥ 7 2 tan θ . III
初速度と初角速度はいずれも零なので、
x ˙ = g ( sin θ − μ cos θ ) t , ω = 5 μ g cos θ 2 r t . \dot x=g(\sin\theta-\mu\cos\theta)t,\qquad
\omega=\frac{5\mu g\cos\theta}{2r}t. x ˙ = g ( sin θ − μ cos θ ) t , ω = 2 r 5 μg cos θ t . したがって、斜面下向きを正とする滑り速度は
q ( t ) = x ˙ − r ω = g ( sin θ − 7 2 μ cos θ ) t . \boxed{q(t)=\dot x-r\omega
=g\left(\sin\theta-\frac72\mu\cos\theta\right)t}. q ( t ) = x ˙ − r ω = g ( sin θ − 2 7 μ cos θ ) t . 滑り出す条件 tan θ > 7 μ 0 / 2 > 7 μ / 2 \tan\theta>7\mu_0/2>7\mu/2 tan θ > 7 μ 0 /2 > 7 μ /2 q ( t ) > 0 q(t)>0 q ( t ) > 0
質量 M M M I I I
a = g sin θ 1 + I / ( M r 2 ) , T = 2 l a . a=\frac{g\sin\theta}{1+I/(Mr^2)},\qquad T=\sqrt{\frac{2l}{a}}. a = 1 + I / ( M r 2 ) g sin θ , T = a 2 l . S1、S2 では I / ( M r 2 ) = 2 / 5 I/(Mr^2)=2/5 I / ( M r 2 ) = 2/5 2 / 3 2/3 2/3
T 2 T 1 = 1 , T 3 T 1 = 25 21 = 5 21 . \boxed{\frac{T_2}{T_1}=1},\qquad
\boxed{\frac{T_3}{T_1}=\sqrt{\frac{25}{21}}=\frac5{\sqrt{21}}}. T 1 T 2 = 1 , T 1 T 3 = 21 25 = 21 5 . 