東京大学 工学系研究科 2015年8月実施 数学 第6問

标签：

• Tokyo-University
• Binomial-Distribution
• Poisson-Approximation-to-Binomial
• Sum-of-Independent-Poisson-Variables
• Expectation-and-Variance

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

会社は複数の工場 $i=1,2,\ldots$ を持つ。工場 $i$ の不良品発生確率を $P_i$ とし、無作為に抽出した $N_i$ 個を出荷する。各工場は互いに独立で、$P_i$ は十分小さい。工場 $i$ の出荷品に不良品がちょうど $k$ 個含まれる確率を $f(i,k)$ とする。

I. $f(i,k)$ を求めよ。

II. $\lambda_i=N_iP_i$ を定数に保ち、$N_i\to\infty$ のとき次の極限を示せ。

$$f(i,k)\longrightarrow\frac{e^{-\lambda_i}\lambda_i^k}{k!}.$$

以下の設問では、このポアソン分布を用いる。

III. 二つの工場のデータが次のとおりであるとき、出荷品全体に不良品がちょうど2個含まれる確率を求めよ。

工場 $i$	$P_i$	$N_i$
1	0.01	500
2	0.02	300

IV. III と同じ条件で、出荷品全体に不良品がちょうど $k$ 個含まれる確率を求めよ。

V. 五つの工場 $i=1,\ldots,5$ で $P_i=0.001i$ とし、各工場から同数 $N_c$ 個を出荷する。全不良品数の期待値が3以下となる $N_c$ の最大値を求めよ。

题目描述

公司有多个工厂 $i=1,2,\ldots$。工厂 $i$ 的次品率为 $P_i$，随机抽取并发货 $N_i$ 件产品。各工厂相互独立，$P_i$ 充分小。记该厂发货中恰有 $k$ 件次品的概率为 $f(i,k)$。

I. 求 $f(i,k)$。

II. 保持 $\lambda_i=N_iP_i$ 为常数，证明当 $N_i\to\infty$ 时，

$$f(i,k)\longrightarrow\frac{e^{-\lambda_i}\lambda_i^k}{k!}.$$

以下按该泊松分布计算。

III. 两个工厂的数据如下，求全部发货中恰有两件次品的概率。

工厂 $i$	$P_i$	$N_i$
1	0.01	500
2	0.02	300

IV. 在 III 的条件下，求全部发货中恰有 $k$ 件次品的概率。

V. 对五个工厂 $i=1,\ldots,5$，设 $P_i=0.001i$，每厂发货件数均为 $N_c$。若总次品数的期望不超过 $3$，求 $N_c$ 的最大值。

Kai

I

独立な抽出より、二項分布に従う。

$$\boxed{f(i,k)=\binom{N_i}{k}P_i^k(1-P_i)^{N_i-k},\quad0\le k\le N_i,}$$

それ以外の $k$ に対する確率は0である。

II

$k$ を固定して $P_i=\lambda_i/N_i$ を代入すると、

$$f(i,k)=\frac{\lambda_i^k}{k!} \prod_{j=0}^{k-1}\left(1-\frac j{N_i}\right) \left(1-\frac{\lambda_i}{N_i}\right)^{N_i} \left(1-\frac{\lambda_i}{N_i}\right)^{-k} \longrightarrow\boxed{\frac{\lambda_i^ke^{-\lambda_i}}{k!}}.$$

III

$\lambda_1=5,\lambda_2=6$ より、

$$\boxed{P(K_1+K_2=2) =e^{-11}\left(\frac{5^2}2+5\cdot6+\frac{6^2}2\right) =\frac{121}{2}e^{-11}.}$$

IV

畳み込みと二項定理により、

$$\begin{aligned} P(K_1+K_2=k) &=e^{-11}\sum_{j=0}^k\frac{5^j6^{k-j}}{j!(k-j)!}\\ &=\frac{e^{-11}}{k!}\sum_{j=0}^k\binom kj5^j6^{k-j} =\boxed{\frac{11^k}{k!}e^{-11}}. \end{aligned}$$

V

期待値の線形性から、

$$E[K]=\sum_{i=1}^5N_cP_i =0.001N_c(1+2+3+4+5)=0.015N_c.$$

$0.015N_c\le3$ より、$\boxed{N_{c,\max}=200}$。