東京大学工学系研究科 2015年8月実施数学第5問

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

I. $[0,\pi]$ 上で連続かつ $f(0)=f(\pi)=0$ を満たす関数を奇関数として延長したとき、フーリエ正弦級数は次式で与えられる。

f(x)=\sum_{n=1}^\infty b_n\sin nx,\qquad b_n=\frac2\pi\int_0^\pi f(x)\sin nx\,\mathrm dx.

II. 正方形 $0\le x,y\le\pi$ 上で連続であり、境界上で0となる関数の二重フーリエ正弦級数は次式で与えられる。

f(x,y)=\sum_{m,n\ge1}B_{mn}\sin mx\sin ny,\qquad B_{mn}=\frac4{\pi^2}\int_0^\pi\int_0^\pi f(x,y)\sin mx\sin ny\,\mathrm dx\,\mathrm dy.

u_t=c^2(u_{xx}+u_{yy}),\qquad c>0,

u(0,y,t)=u(\pi,y,t)=u(x,0,t)=u(x,\pi,t)=0,\qquad u(x,y,0)=x(\pi-x)\sin y.

I. 对 $[0,\pi]$ 上满足 $f(0)=f(\pi)=0$ 的连续函数，奇延拓后的傅里叶正弦级数为

f(x)=\sum_{n=1}^\infty b_n\sin nx,\qquad b_n=\frac2\pi\int_0^\pi f(x)\sin nx\,\mathrm dx.

II. 对正方形 $0\le x,y\le\pi$ 上在边界为 $0$ 的函数，二重正弦级数为

f(x,y)=\sum_{m,n\ge1}B_{mn}\sin mx\sin ny,\qquad B_{mn}=\frac4{\pi^2}\int_0^\pi\int_0^\pi f(x,y)\sin mx\sin ny\,\mathrm dx\,\mathrm dy.

u_t=c^2(u_{xx}+u_{yy}),\qquad c>0,

u(0,y,t)=u(\pi,y,t)=u(x,0,t)=u(x,\pi,t)=0,\qquad u(x,y,0)=x(\pi-x)\sin y.

2回の部分積分により、

b_n=\frac2\pi\int_0^\pi x(\pi-x)\sin nx\,\mathrm dx =\frac{4(1-(-1)^n)}{\pi n^3}.

したがって

\boxed{x(\pi-x)=\frac8\pi\sum_{k=0}^\infty\frac{\sin((2k+1)x)}{(2k+1)^3}.}

$x=\pi/2$ を代入すると、

\frac{\pi^2}4=\frac8\pi\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k+1)^3},

よって $\boxed{\sum_{k=0}^\infty(-1)^k/(2k+1)^3=\pi^3/32}$ 。

正弦関数の直交性より $\int_0^\pi\sin y\sin ny\,\mathrm dy=(\pi/2)\delta_{n1}$ なので、

B_{mn}=\frac{4(1-(-1)^m)}{\pi m^3}\delta_{n1}.

求める展開は

\boxed{f(x,y)=\frac8\pi\sum_{k=0}^\infty \frac{\sin((2k+1)x)\sin y}{(2k+1)^3}.}

$u=X(x)Y(y)T(t)$ とおく。斉次境界条件より、

X=\sin mx,\qquad Y=\sin ny,\qquad T'= -c^2(m^2+n^2)T,

ここで $m,n\ge1$ 。分離解を重ね合わせ、II.1 により初期条件を合わせると、

\boxed{u(x,y,t)=\frac8\pi\sum_{k=0}^\infty \frac{e^{-c^2((2k+1)^2+1)t}}{(2k+1)^3} \sin((2k+1)x)\sin y.}