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東京大学 工学系研究科 2015年8月実施 数学 第4問

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

3次元空間内の三つの平面

ai1x+ai2y+ai3z=bi(i=1,2,3)a_{i1}x+a_{i2}y+a_{i3}z=b_i\quad(i=1,2,3)

と球面 x2+y2+z2=3x^2+y^2+z^2=3 を考える。係数行列を A=(aij)A=(a_{ij})、拡大係数行列を B=(A∣b)B=(A\mid\boldsymbol b) とする。

I. 次の行列を考える。

A=(111111111),B=(11131111111−c),c>0.A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1&1&1&3\\1&1&1&1\\1&1&1&-c\end{pmatrix},\quad c>0.
  1. rank⁡A,rank⁡B\operatorname{rank}A,\operatorname{rank}B を求めよ。
  2. P=(1,1,1)P=(1,1,1) で球に接する平面を平面1と呼ぶ。残る二平面のうち PP との距離が小さいものを平面2と呼ぶ。PP と平面2との距離、および平面1と平面2の間にある球の部分の体積を求めよ。

II. 三平面が一直線で交わるとき、rank⁡A,rank⁡B\operatorname{rank}A,\operatorname{rank}B を求めよ。

III. 三平面が球の互いに異なる3点で接するとする。三平面と球の可能な位置関係をすべて図示し、それぞれの rank⁡A,rank⁡B\operatorname{rank}A,\operatorname{rank}B を求めよ。

题目描述​

三维空间中有三个平面

ai1x+ai2y+ai3z=bi(i=1,2,3)a_{i1}x+a_{i2}y+a_{i3}z=b_i\quad(i=1,2,3)

及球面 x2+y2+z2=3x^2+y^2+z^2=3。记系数矩阵为 A=(aij)A=(a_{ij})，增广矩阵为 B=(A∣b)B=(A\mid\boldsymbol b)。

I. 设

A=(111111111),B=(11131111111−c),c>0.A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1&1&1&3\\1&1&1&1\\1&1&1&-c\end{pmatrix},\quad c>0.
  1. 求 rank⁡A,rank⁡B\operatorname{rank}A,\operatorname{rank}B。
  2. 在 P=(1,1,1)P=(1,1,1) 处与球相切的平面称为平面 1；余下两个平面中距 PP 较近者称为平面 2。求 PP 到平面 2 的距离，以及两平面之间的球体部分的体积。

II. 若三平面交于一条直线，求 rank⁡A,rank⁡B\operatorname{rank}A,\operatorname{rank}B。

III. 若三平面分别在三个不同点与球相切，画出三平面与球的全部可能位置关系，并分别求 rank⁡A,rank⁡B\operatorname{rank}A,\operatorname{rank}B。

Kai​

I.1​

AA の三つの行は同一である。BB の行空間は (1,1,1,0)(1,1,1,0) と (0,0,0,1)(0,0,0,1) で張られる。したがって

rank⁡A=1,rank⁡B=2.\boxed{\operatorname{rank}A=1,\qquad\operatorname{rank}B=2.}

I.2​

平面1は x+y+z=3x+y+z=3。PP と残る二平面との距離はそれぞれ

23,3+c3.\frac2{\sqrt3},\qquad\frac{3+c}{\sqrt3}.

よって平面2は x+y+z=1x+y+z=1、求める距離は 2/3\boxed{2/\sqrt3}。

s=(x+y+z)/3s=(x+y+z)/\sqrt3 を法線方向の座標に取ると、断面積は π(3−s2)\pi(3-s^2)。したがって球冠の体積は

V=π∫1/33(3−s2) ds=283π27.\boxed{V=\pi\int_{1/\sqrt3}^{\sqrt3}(3-s^2)\,\mathrm ds =\frac{28\sqrt3\pi}{27}.}

II​

解集合の次元は 3−rank⁡A=13-\operatorname{rank}A=1 であり、連立方程式は解を持つので、

rank⁡A=rank⁡B=2.\boxed{\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}B=2.}

III​

位置関係は次の3種類である。図は各場合の代表例で、すべての平面は球に接している。

三つの接平面と球の位置関係

位置関係rank⁡A\operatorname{rank}Arank⁡B\operatorname{rank}B
三平面がただ1点で交わる33
二平面が平行で、第三の平面が両方と交わる23
三平面は互いに交わるが、三つの交線は平行で共通点を持たない23

これらで尽くされることを示す。異なる3点での接平面がすべて平行になることはないので、rank⁡A≥2\operatorname{rank}A\ge2。階数が3なら第1の場合である。階数が2の場合、三平面は共通の直線を持てない。その直線に垂直な断面を取ると、一点を通る円の異なる接線が3本必要になるが、円外の一点から引ける接線は高々2本だからである。したがって拡大係数行列の階数は3であり、平行な二平面があるかどうかで残りの二つの場合に分かれる。

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