東京大学 工学系研究科 2015年8月実施 数学 第3問

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• Conformal-Mapping
• Cauchy-Riemann-Equations
• Harmonic-Functions-and-Harmonic-Conjugates

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

$z=x+iy,w=u+iv$ とする。

I. 写像 $w=\sin z$ について、以下に答えよ。

1. $u,v$ をそれぞれ $x,y$ の関数で表せ。
2. 半無限帯状領域 $D_1=\{0\le x\le\pi/2,\ y\ge0\}$ の像を求めよ。$y\ge0$ における半直線 $x=0,x=\pi/2,x=c$（$0<c<\pi/2$）の像を図示せよ。

II. 実関数 $g$ が連続な1階・2階偏微分を持ち、$g_{xx}+g_{yy}=0$ を満たすとき調和関数と呼ぶ。$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ が $D$ で正則であるとする。

1. $u,v$ がともに調和関数であることを示せ。
2. $h(u,v)$ が像領域 $\Delta$ で調和であるとき、$H(x,y)=h(u(x,y),v(x,y))$ は $D$ で調和であることを示せ。

III. $h$ は第1象限 $\Delta_1=\{u\ge0,v\ge0\}$ で調和であり、次の境界条件を満たすとする。

$$h(0,v)=0\ (v\ge0),\qquad h(u,0)=1\ (u\ge1),\qquad h_v(u,0)=0\ (0\le u\le1).$$

1. $z=\arcsin w$（主値）とおき、対応する $H(x,y)$ の境界条件を求めよ。
2. これらの境界条件を満たす $H(x,y)$ を求めよ。
3. $0\le u\le1$ における $h(u,0)$ を求めよ。

题目描述

设 $z=x+iy,w=u+iv$。

I. 对映射 $w=\sin z$：

1. 用 $x,y$ 分别表示 $u,v$。
2. 求半无限条带 $D_1=\{0\le x\le\pi/2,\ y\ge0\}$ 的像域；画出 $y\ge0$ 上三条射线 $x=0,x=\pi/2,x=c$（$0<c<\pi/2$）的像。

II. 若实函数 $g$ 有连续的一阶、二阶偏导数且满足 $g_{xx}+g_{yy}=0$，则称其为调和函数。设 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 在 $D$ 内全纯：

1. 证明 $u,v$ 均为调和函数。
2. 若 $h(u,v)$ 在像域 $\Delta$ 内调和，证明 $H(x,y)=h(u(x,y),v(x,y))$ 在 $D$ 内调和。

III. 设 $h$ 在第一象限 $\Delta_1=\{u\ge0,v\ge0\}$ 内调和，边界条件为

$$h(0,v)=0\ (v\ge0),\qquad h(u,0)=1\ (u\ge1),\qquad h_v(u,0)=0\ (0\le u\le1).$$

1. 令 $z=\arcsin w$（取主值），求对应的 $H(x,y)$ 的边界条件。
2. 求满足这些边界条件的 $H(x,y)$。
3. 求 $0\le u\le1$ 时的 $h(u,0)$。

Kai

I.1

$$\sin(x+iy)=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y,$$

したがって $\boxed{u=\sin x\cosh y,\quad v=\cos x\sinh y}$。

I.2

境界および半直線の対応は次のとおりである。

$$\begin{array}{c|c} z\text{ 平面}&w\text{ 平面}\\\hline x=0,\ y\ge0&u=0,\ v\ge0\\ x=\pi/2,\ y\ge0&v=0,\ u\ge1\\ y=0,\ 0\le x\le\pi/2&v=0,\ 0\le u\le1\\ x=c,\ y\ge0&u^2/\sin^2c-v^2/\cos^2c=1,\quad u\ge\sin c,\ v\ge0 \end{array}$$

よって像領域は $\boxed{\Delta_1=\{u\ge0,v\ge0\}}$。

II.1

コーシー–リーマンの関係式 $u_x=v_y,u_y=-v_x$ より、

$$\Delta u=v_{yx}-v_{xy}=0,\qquad \Delta v=-u_{yx}+u_{xy}=0.$$

したがって $u,v$ はともに調和である。

II.2

連鎖律から、

$$\Delta H=h_{uu}|\nabla u|^2+2h_{uv}\nabla u\cdot\nabla v +h_{vv}|\nabla v|^2+h_u\Delta u+h_v\Delta v.$$

コーシー–リーマンの関係式より $\nabla u\cdot\nabla v=0$、$|\nabla u|^2=|\nabla v|^2=|f'(z)|^2$。したがって

$$\boxed{\Delta H=|f'(z)|^2(h_{uu}+h_{vv})=0.}$$

III.1

I の境界対応と $u_y(x,0)=0,v_y(x,0)=\cos x$ より、

$$\boxed{H(0,y)=0,\quad H(\pi/2,y)=1,\quad H_y(x,0)=0.}$$

III.2–3

$H$ が $y$ によらない解を取ると $H_{xx}=0$。両側の境界値より、

$$\boxed{H_0(x,y)=\frac{2x}{\pi},\qquad h_0(u,0)=\frac2\pi\arcsin u\quad(0\le u\le1).}$$

これは条件を満たす有界解である。無限遠での有界性を課さなければ解は一意ではない。例えば任意の実数 $C$ に対して、

$$H_C=\frac{2x}{\pi}+C\sin(2x)\cosh(2y),\qquad h_C(u,0)=\frac2\pi\arcsin u+2Cu\sqrt{1-u^2}.$$