東京大学工学系研究科 2015年8月実施数学第1問

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

I. 次の微分方程式の一般解を求めよ。

y^{(4)}-2y^{(3)}+2y'-y=9e^{-2x}.

II. 非負整数 $m,n$ に対し、次の積分を求めよ。

\int_0^1x^m(\log x)^n\,\mathrm dx.

III. 非負整数 $m$ に対し、

I(m)=\int_0^1x^m\arccos x\,\mathrm dx,

と定義する。逆三角関数は主値を取る。 $I(0)$ 、 $I(1)$ を求めよ。また、 $m\ge2$ のとき $I(m)$ を $m$ と $I(m-2)$ で表し、一般式を求めよ。

I. 求微分方程的一般解：

y^{(4)}-2y^{(3)}+2y'-y=9e^{-2x}.

II. 对非负整数 $m,n$ ，求

\int_0^1x^m(\log x)^n\,\mathrm dx.

III. 对非负整数 $m$ ，定义

I(m)=\int_0^1x^m\arccos x\,\mathrm dx,

其中反三角函数取主值。求 $I(0)$ 、 $I(1)$ ；当 $m\ge2$ 时用 $m$ 和 $I(m-2)$ 表示 $I(m)$ ，并求一般式。

特性多項式は

r^4-2r^3+2r-1=(r-1)^3(r+1).

と分解される。 $P(-2)=27$ より、特解は $y_p=e^{-2x}/3$ と取れる。したがって

\boxed{y=C_1e^{-x}+(C_2+C_3x+C_4x^2)e^x+\frac13e^{-2x}.}

求める積分を $J_{m,n}$ とする。 $n\ge1$ のとき部分積分により、

J_{m,n}=-\frac n{m+1}J_{m,n-1},\qquad J_{m,0}=\frac1{m+1},

ここで $x^{m+1}(\log x)^n\to0$ （ $x\downarrow0$ ）を用いた。したがって

\boxed{J_{m,n}=\frac{(-1)^nn!}{(m+1)^{n+1}}.}

部分積分した後に $x=\cos\theta$ とおくと、

I(m)=\frac1{m+1}\int_0^1\frac{x^{m+1}}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm dx =\frac1{m+1}\int_0^{\pi/2}\cos^{m+1}\theta\,\mathrm d\theta.

したがって

\boxed{I(0)=1,\qquad I(1)=\frac\pi8.}

$J_k=\int_0^{\pi/2}\cos^k\theta\,\mathrm d\theta$ とおく。部分積分より $J_k=(k-1)J_{k-2}/k$ なので、

\boxed{I(m)=\frac{m(m-1)}{(m+1)^2}I(m-2),\qquad m\ge2.}

漸化式を繰り返し適用すると、

\boxed{ I(m)=\frac{m!}{((m+1)!!)^2} \begin{cases}1,&m\text{ が偶数},\\ \pi/2,&m\text{ が奇数}.\end{cases}}

ここで $k!!=k(k-2)(k-4)\cdots$ である。