東京大学 工学系研究科 2014年8月実施 数学 第5問

标签：

• Tokyo-University
• Fourier-Transform
• Convolution

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

フーリエ変換を次式で定義する。

$$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{i\omega t}\,\mathrm dt.$$

I. 実関数 $f$ に対して $F(-\omega)=\overline{F(\omega)}$ が成り立つことを示せ。

II. 畳み込み

$$(f*g)(t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(s)g(t-s)\,\mathrm ds,$$

のフーリエ変換を $F,G$ で表せ。計算過程も示せ。

III. 実関数 $h(t)$ は $t<0$ において $h(t)=0$ を満たすものとし、

$$r(t)=\frac{h(t)+h(-t)}2,\qquad x(t)=\frac{h(t)-h(-t)}2,$$

と定義する。それぞれのフーリエ変換を $R,X$ とする。

1. $R(\omega)$ が実数であることを示せ。
2. $X(\omega)$ が純虚数（$0$ を含む）であることを示せ。
3. $h(t)=e^{-t}$（$t\ge0$）のとき $R,X$ を求め、$\operatorname{Re}R$ と $\operatorname{Im}X$ の概形をそれぞれ図示せよ。
4. $r(t)=1/4$（$|t|\le2$）、$r(t)=0$（$|t|>2$）のとき、同様に $R,X$ を求め、それらの実部と虚部の概形を図示せよ。

题目描述

傅里叶变换定义为

$$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{i\omega t}\,\mathrm dt.$$

I. 证明实函数 $f$ 满足 $F(-\omega)=\overline{F(\omega)}$。

II. 对卷积

$$(f*g)(t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(s)g(t-s)\,\mathrm ds,$$

用 $F,G$ 表示其傅里叶变换，并写出计算过程。

III. 实函数 $h(t)$ 满足 $h(t)=0$（$t<0$）。定义

$$r(t)=\frac{h(t)+h(-t)}2,\qquad x(t)=\frac{h(t)-h(-t)}2,$$

并记它们的傅里叶变换为 $R,X$。

1. 证明 $R(\omega)$ 为实数。
2. 证明 $X(\omega)$ 为纯虚数（含 $0$）。
3. 当 $h(t)=e^{-t}$（$t\ge0$）时，求 $R,X$，分别画出 $\operatorname{Re}R$ 与 $\operatorname{Im}X$ 的概形。
4. 当 $r(t)=1/4$（$|t|\le2$）、$r(t)=0$（$|t|>2$）时，完成同样的计算与作图。

Kai

I

$f$ は実関数なので、

$$F(-\omega)=\int f(t)e^{-i\omega t}\,\mathrm dt =\overline{\int f(t)e^{i\omega t}\,\mathrm dt} =\boxed{\overline{F(\omega)}}.$$

II

積分の順序を交換し、$u=t-s$ とおくと、

$$\begin{aligned} \mathcal F[f*g](\omega) &=\int_{\mathbb R}f(s)\int_{\mathbb R}g(t-s)e^{i\omega t}\,\mathrm dt\,\mathrm ds\\ &=\left(\int_{\mathbb R}f(s)e^{i\omega s}\,\mathrm ds\right) \left(\int_{\mathbb R}g(u)e^{i\omega u}\,\mathrm du\right) =\boxed{F(\omega)G(\omega)}. \end{aligned}$$

III.1–2

$r$ は実偶関数、$x$ は実奇関数なので、

$$\boxed{R(\omega)=2\int_0^\infty r(t)\cos\omega t\,\mathrm dt\in\mathbb R,}$$

$$\boxed{X(\omega)=2i\int_0^\infty x(t)\sin\omega t\,\mathrm dt\in i\mathbb R.}$$

III.3

$$H(\omega)=\int_0^\infty e^{-(1-i\omega)t}\,\mathrm dt=\frac1{1-i\omega}.$$

したがって

$$\boxed{R(\omega)=\frac1{1+\omega^2},\qquad X(\omega)=\frac{i\omega}{1+\omega^2}.}$$

$R$ は偶関数で $\omega=0$ において最大値 $1$ を取る。$\operatorname{Im}X$ は奇関数で $\omega=\pm1$ においてそれぞれ $\pm1/2$ を取る。どちらも無限遠で $0$ に収束する。

III.4

$t>0$ では $h(t)=2r(t)$ なので、$0<|t|\le2$ では $x(t)=\frac14\operatorname{sgn}(t)$、それ以外では $0$ となる。したがって

$$\boxed{R(\omega)=\frac{\sin2\omega}{2\omega},\qquad X(\omega)=i\frac{1-\cos2\omega}{2\omega}.}$$

$\omega=0$ では連続延長により $R(0)=1,X(0)=0$。$R$ は偶関数で、零点は $\omega=k\pi/2\ (k\ne0)$。$\operatorname{Im}X$ は奇関数で、$\omega>0$ では非負、零点は $\omega=k\pi$ である。どちらも無限遠で $0$ に収束する。