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東京大学 工学系研究科 2014年8月実施 数学 第4問

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

原点を OO とする3次元直交座標系に、次の3点を取る。

P=(cos⁡θ,sin⁡θ,1),Q=(−cos⁡θ,−sin⁡θ,−1),R=(cos⁡2θ,sin⁡2θ,−1).P=(\cos\theta,\sin\theta,1),\quad Q=(-\cos\theta,-\sin\theta,-1),\quad R=(\cos2\theta,\sin2\theta,-1).

I. 線分 PQPQ の長さを求めよ。

II. 三角形 PQRPQR の面積 SS を θ\theta で表せ。

III. 線分 PRPR と xyxy 平面との交点を MM とする。MM の座標を求めよ。

IV. θ\theta を 00 から π\pi まで連続的に変化させる。xyxy 平面上に MM の軌跡を図示し、線分 OMOM が掃過する領域の面積を求めよ。

题目描述​

在三维直角坐标系中，OO 为原点，设

P=(cos⁡θ,sin⁡θ,1),Q=(−cos⁡θ,−sin⁡θ,−1),R=(cos⁡2θ,sin⁡2θ,−1).P=(\cos\theta,\sin\theta,1),\quad Q=(-\cos\theta,-\sin\theta,-1),\quad R=(\cos2\theta,\sin2\theta,-1).

I. 求线段 PQPQ 的长度。

II. 用 θ\theta 表示三角形 PQRPQR 的面积 SS。

III. 设线段 PRPR 与 xyxy 平面的交点为 MM，求 MM 的坐标。

IV. 当 θ\theta 从 00 连续增加至 π\pi 时，画出 MM 在 xyxy 平面内的轨迹，并求线段 OMOM 扫过区域的面积。

Kai​

I​

PQ→=(−2cos⁡θ,−2sin⁡θ,−2)\overrightarrow{PQ}=(-2\cos\theta,-2\sin\theta,-2) より ∣PQ∣=22\boxed{|PQ|=2\sqrt2}。

II​

∣PR∣2=6−2cos⁡θ,PQ→⋅PR→=6−2cos⁡θ.|PR|^2=6-2\cos\theta,\qquad \overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{PR}=6-2\cos\theta.

外積による面積公式から、

S=128(6−2cos⁡θ)−(6−2cos⁡θ)2=(3−cos⁡θ)(1+cos⁡θ).\boxed{S=\frac12\sqrt{8(6-2\cos\theta)-(6-2\cos\theta)^2} =\sqrt{(3-\cos\theta)(1+\cos\theta)}.}

III​

P,RP,R の zz 座標はそれぞれ 1,−11,-1 なので、MM は中点である：

M=(cos⁡θ+cos⁡2θ2,sin⁡θ+sin⁡2θ2,0).\boxed{M=\left(\frac{\cos\theta+\cos2\theta}{2}, \frac{\sin\theta+\sin2\theta}{2},0\right).}

IV​

平面座標を複素数で表すと、

x+iy=eiθ+e2iθ2=cos⁡θ2 e3iθ/2.x+iy=\frac{e^{i\theta}+e^{2i\theta}}2 =\cos\frac\theta2\,e^{3i\theta/2}.

したがって極座標表示は

r=cos⁡ϕ3,0≤ϕ≤3π2.\boxed{r=\cos\frac\phi3,\qquad0\le\phi\le\frac{3\pi}2.}

軌跡は (1,0)(1,0)、(0,3/2)(0,\sqrt3/2)、(−1/2,0)(-1/2,0) を順に通り、最後に原点へ至る。矢印は θ\theta の増加方向を表す。

Mの軌跡とOMの掃過領域

r≥0r\ge0 で偏角が単調に増加するので、掃過する領域に重複はない。その面積は

12∫03π/2cos⁡2ϕ3 dϕ=3π8.\boxed{\frac12\int_0^{3\pi/2}\cos^2\frac\phi3\,\mathrm d\phi =\frac{3\pi}{8}.}
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