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東京大学 工学系研究科 2014年8月実施 数学 第3問

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

複素関数 gg の実軸の上下からの境界値を

g±(x)=lim⁡ε↓0g(x±iε).g^\pm(x)=\lim_{\varepsilon\downarrow0}g(x\pm i\varepsilon).

と定義する。φ\varphi は [−1,1][-1,1] 上で連続とし、ff を次式で定義する。

f(z)=12πi∫−11φ(t)t−z dt.f(z)=\frac1{2\pi i}\int_{-1}^1\frac{\varphi(t)}{t-z}\,\mathrm dt.

I. −1<x<1-1<x<1 において f+(x)−f−(x)=φ(x)f^+(x)-f^-(x)=\varphi(x) を示せ。

II. X(z)=z2−1X(z)=\sqrt{z^2-1} の分枝切断線を [−1,1][-1,1] とする。次の関係を示せ。

X+(x)X−(x)={−1,∣x∣<1,1,∣x∣>1.\frac{X^+(x)}{X^-(x)}= \begin{cases}-1,&|x|<1,\\1,&|x|>1.\end{cases}

III. φ(x)=X+(x)\varphi(x)=X^+(x) のとき f(z)f(z) を求めよ。

题目描述​

对复函数 gg 定义实轴上下侧的边界值

g±(x)=lim⁡ε↓0g(x±iε).g^\pm(x)=\lim_{\varepsilon\downarrow0}g(x\pm i\varepsilon).

设 φ\varphi 在 [−1,1][-1,1] 上连续，令

f(z)=12πi∫−11φ(t)t−z dt.f(z)=\frac1{2\pi i}\int_{-1}^1\frac{\varphi(t)}{t-z}\,\mathrm dt.

I. 对 −1<x<1-1<x<1，证明 f+(x)−f−(x)=φ(x)f^+(x)-f^-(x)=\varphi(x)。

II. 设 X(z)=z2−1X(z)=\sqrt{z^2-1} 的割线为 [−1,1][-1,1]，证明

X+(x)X−(x)={−1,∣x∣<1,1,∣x∣>1.\frac{X^+(x)}{X^-(x)}= \begin{cases}-1,&|x|<1,\\1,&|x|>1.\end{cases}

III. 当 φ(x)=X+(x)\varphi(x)=X^+(x) 时求 f(z)f(z)。

Kai​

I​

ε>0\varepsilon>0 に対して直接差を取ると、

f(x+iε)−f(x−iε)=1π∫−11εφ(t)(t−x)2+ε2 dt.f(x+i\varepsilon)-f(x-i\varepsilon) =\frac1\pi\int_{-1}^1 \frac{\varepsilon\varphi(t)}{(t-x)^2+\varepsilon^2}\,\mathrm dt.

t=x+εut=x+\varepsilon u とおけば、

1π∫(−1−x)/ε(1−x)/εφ(x+εu)1+u2 du⟶φ(x)π∫−∞∞du1+u2=φ(x).\frac1\pi\int_{(-1-x)/\varepsilon}^{(1-x)/\varepsilon} \frac{\varphi(x+\varepsilon u)}{1+u^2}\,\mathrm du \longrightarrow\frac{\varphi(x)}\pi\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\mathrm du}{1+u^2} =\varphi(x).

φ\varphi の有界性と連続性より支配収束定理を適用できる。したがって、上下の境界値が存在する場合、

f+(x)−f−(x)=φ(x).\boxed{f^+(x)-f^-(x)=\varphi(x).}

II​

まず X(z)/z→1X(z)/z\to1 を満たす分枝を取る。その境界値は

X±(x)={x2−1,x>1,±i1−x2,−1<x<1,−x2−1,x<−1.X^\pm(x)= \begin{cases} \sqrt{x^2-1},&x>1,\\ \pm i\sqrt{1-x^2},&-1<x<1,\\ -\sqrt{x^2-1},&x<-1. \end{cases}

よって比は切断線上で −1-1、切断線外で 11 となる。全体の符号を変えても比は変わらない。

III​

X(z)/z→1X(z)/z\to1 の分枝を用いる。X0(z)=X(z)−zX_0(z)=X(z)-z とおくと X0(z)=O(z−1)X_0(z)=O(z^{-1}) であり、

X0+(x)−X0−(x)=2X+(x).X_0^+(x)-X_0^-(x)=2X^+(x).

X0X_0 に対して切断線の周囲でコーシーの積分公式を用いる。大円上の積分は半径を無限大にすると消えるので、

X(z)−z=12πi∫−112X+(t)t−z dt=2f(z).X(z)-z=\frac1{2\pi i}\int_{-1}^1 \frac{2X^+(t)}{t-z}\,\mathrm dt=2f(z).

したがって

f(z)=z2−1−z2,X(z)/z→1.\boxed{f(z)=\frac{\sqrt{z^2-1}-z}{2},\qquad X(z)/z\to1.}

一般に X(z)/z→σ∈{1,−1}X(z)/z\to\sigma\in\{1,-1\} を満たす分枝では、f(z)=(X(z)−σz)/2\boxed{f(z)=(X(z)-\sigma z)/2} である。

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