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東京大学 工学系研究科 2013年8月実施 物理学3

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

気体を作動流体とする熱過程を考える。圧力を PP、1 モルあたりの体積を VV、絶対温度を TT、気体定数を RR、モル内部エネルギーを UU、モルエントロピーを SS とする。モルエンタルピー H=U+PVH=U+PV、定積比熱 CV=(∂U/∂T)VC_V=(\partial U/\partial T)_V、定圧比熱 CP=(∂H/∂T)PC_P=(\partial H/\partial T)_P、比熱比 κ=CP/CV\kappa=C_P/C_V を定義する。全状態変化は準静的で、dU=T dS−P dVdU=T\,dS-P\,dV が成り立つとしてよい。

I​

状態方程式によらず、次の各関係式を導け。

CV=T(∂S∂T)V,(1)C_V=T\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_V, \tag{1}
CP=T(∂S∂T)P,(2)C_P=T\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_P, \tag{2}
CP−CV=T(∂P∂T)V(∂V∂T)P,(3)C_P-C_V=T\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P, \tag{3}
(∂P∂V)S=κ(∂P∂V)T.(4)\left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_S=\kappa\left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_T. \tag{4}

必要なら、マクスウェル関係式と連鎖律

(∂S∂V)T=(∂P∂T)V,(5)\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_T=\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V, \tag{5}
(∂S∂T)V(∂T∂V)S(∂V∂S)T=−1,(6)\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_V \left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_S \left(\frac{\partial V}{\partial S}\right)_T=-1, \tag{6}
(∂S∂T)P(∂T∂P)S(∂P∂S)T=−1(7)\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_P \left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_S \left(\frac{\partial P}{\partial S}\right)_T=-1 \tag{7}

を用いてよい。

II​

理想気体の状態方程式 PV=RTPV=RT に従い、R,CPR,C_P がともに定数である場合を考える。

  1. 式 (3) から κ\kappa が定数であることを示せ。
  2. 式 (4) から断熱過程では PVκ=一定PV^\kappa=\text{一定} となることを示せ。

III​

図の TT–SS 線図に示す理想的な中間冷却ガスタービンサイクル O→A→B→C→D→E→O を考える。作動流体は II の理想気体である。各過程は、O(P0,T0)(P_0,T_0)→A(PA,TA)(P_A,T_A) が断熱圧縮、A→B(PB,TB)(P_B,T_B) が定圧冷却、B→C(PC,TC)(P_C,T_C) が断熱圧縮、C→D(PD,TD)(P_D,T_D) が定圧加熱、D→E(PE,TE)(P_E,T_E) が断熱膨張、E→O が定圧冷却である。

PD=PC≥PB=PA≥P0=PE,TB=T0.P_D=P_C\ge P_B=P_A\ge P_0=P_E, \qquad T_B=T_0.

最高最低温度比を τ=TD/T0\tau=T_D/T_0、全体圧力比を r=PC/P0r=P_C/P_0、O→A の圧力比を rOA=PA/P0r_{OA}=P_A/P_0、1 モルの流体が 1 サイクルにする仕事を WW とする。

  1. TCT_C を T0,κ,r,rOAT_0,\kappa,r,r_{OA} で表せ。
  2. TET_E を T0,κ,τ,rT_0,\kappa,\tau,r で表せ。
  3. 次の式を用いて、WW を CP,T0,κ,τ,r,rOAC_P,T_0,\kappa,\tau,r,r_{OA} で表せ。
W=−CP{(TA−T0)+(TC−TB)+(TE−TD)}.(10)W=-C_P\{(T_A-T_0)+(T_C-T_B)+(T_E-T_D)\}. \tag{10}
  1. T0,τ,rT_0,\tau,r を固定したとき、WW を最大にする rOAr_{OA} を rr で表し、そのときの WW を CP,T0,κ,τ,rC_P,T_0,\kappa,\tau,r で表せ。

中間冷却ガスタービンサイクルの温度エントロピー線図

题目描述​

考虑以气体为工作流体的热过程。压力为 PP，每摩尔体积为 VV，绝对温度为 TT，气体常数为 RR，摩尔内能为 UU，摩尔熵为 SS。定义摩尔焓 H=U+PVH=U+PV、定容热容 CV=(∂U/∂T)VC_V=(\partial U/\partial T)_V、定压热容 CP=(∂H/∂T)PC_P=(\partial H/\partial T)_P、热容比 κ=CP/CV\kappa=C_P/C_V。全部状态变化均为准静态，可假设 dU=T dS−P dVdU=T\,dS-P\,dV 成立。

I​

不依赖具体状态方程，分别推导

CV=T(∂S∂T)V,CP=T(∂S∂T)P,C_V=T\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_V, \qquad C_P=T\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_P,
CP−CV=T(∂P∂T)V(∂V∂T)P,(∂P∂V)S=κ(∂P∂V)T.C_P-C_V=T\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P, \qquad \left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_S=\kappa\left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_T.

必要时可使用麦克斯韦关系及偏导连锁关系

(∂S∂V)T=(∂P∂T)V,\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_T=\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V,
(∂S∂T)V(∂T∂V)S(∂V∂S)T=−1,\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_V \left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_S \left(\frac{\partial V}{\partial S}\right)_T=-1,
(∂S∂T)P(∂T∂P)S(∂P∂S)T=−1.\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_P \left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_S \left(\frac{\partial P}{\partial S}\right)_T=-1.

II​

对于满足 PV=RTPV=RT 的理想气体，设 R,CPR,C_P 均为常数。

  1. 用 I 的热容差公式证明 κ\kappa 为常数。
  2. 用 I 的等熵与等温压力偏导关系证明绝热过程中 PVκPV^\kappa 不变。

III​

考虑图示的理想中间冷却燃气轮机循环 O→A→B→C→D→E→O，工作流体为 II 的理想气体。各过程为：O(P0,T0)(P_0,T_0)→A(PA,TA)(P_A,T_A) 绝热压缩，A→B(PB,TB)(P_B,T_B) 等压冷却，B→C(PC,TC)(P_C,T_C) 绝热压缩，C→D(PD,TD)(P_D,T_D) 等压加热，D→E(PE,TE)(P_E,T_E) 绝热膨胀，E→O 等压冷却。已知

PD=PC≥PB=PA≥P0=PE,TB=T0.P_D=P_C\ge P_B=P_A\ge P_0=P_E, \qquad T_B=T_0.

定义最高与最低温度比 τ=TD/T0\tau=T_D/T_0、总压比 r=PC/P0r=P_C/P_0、O→A 压比 rOA=PA/P0r_{OA}=P_A/P_0，以及每摩尔流体在一个循环内对外做功 WW。

  1. 用 T0,κ,r,rOAT_0,\kappa,r,r_{OA} 表示 TCT_C。
  2. 用 T0,κ,τ,rT_0,\kappa,\tau,r 表示 TET_E。
  3. 利用下式，用 CP,T0,κ,τ,r,rOAC_P,T_0,\kappa,\tau,r,r_{OA} 表示 WW。
W=−CP{(TA−T0)+(TC−TB)+(TE−TD)}.W=-C_P\{(T_A-T_0)+(T_C-T_B)+(T_E-T_D)\}.
  1. 固定 T0,τ,rT_0,\tau,r，求使 WW 最大的 rOAr_{OA}，并用 CP,T0,κ,τ,rC_P,T_0,\kappa,\tau,r 表示最大功。

Kai​

I​

式 (1)、(2). dV=0dV=0 のとき dU=T dSdU=T\,dS である。また、

dH=d(U+PV)=T dS+V dP.dH=d(U+PV)=T\,dS+V\,dP.

したがって、

CV=T(∂S∂T)V,CP=T(∂S∂T)P.\boxed{C_V=T\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_V,\qquad C_P=T\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_P.}

式 (3). S=S(T,V)S=S(T,V) の合成関数の微分と式 (5) より、

CPT=(∂S∂T)V+(∂S∂V)T(∂V∂T)P=CVT+(∂P∂T)V(∂V∂T)P.\frac{C_P}{T} =\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_V +\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_T\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P =\frac{C_V}{T} +\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P.

両辺に TT を掛ければ式 (3) を得る。

式 (4). 簡単のため PT=(∂P/∂T)VP_T=(\partial P/\partial T)_V、PV=(∂P/∂V)TP_V=(\partial P/\partial V)_T と書く。dS=(CV/T)dT+PTdVdS=(C_V/T)dT+P_TdV より、

(∂T∂V)S=−TPTCV,(∂P∂V)S=PV−TPT2CV.\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_S=-\frac{TP_T}{C_V},\qquad \left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_S =P_V-\frac{TP_T^2}{C_V}.

一方、定圧条件から (∂V/∂T)P=−PT/PV(\partial V/\partial T)_P=-P_T/P_V なので、式 (3) は CP−CV=−TPT2/PVC_P-C_V=-TP_T^2/P_V。よって、

(∂P∂V)S=PV(1+CP−CVCV)=κPV.\boxed{\left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_S =P_V\left(1+\frac{C_P-C_V}{C_V}\right)=\kappa P_V.}

II​

1. 式 (3) に理想気体の偏導関数を代入すると、

CP−CV=TRVRP=R,κ=CPCP−R=一定.C_P-C_V=T\frac RV\frac RP=R,\qquad \boxed{\kappa=\frac{C_P}{C_P-R}=\text{一定}.}

2. 準静的断熱過程では dS=0dS=0。式 (4) より dP/dV=−κP/VdP/dV=-\kappa P/V だから、

dPP+κdVV=0⟹PVκ=一定.\frac{dP}{P}+\kappa\frac{dV}{V}=0 \quad\Longrightarrow\quad \boxed{PV^\kappa=\text{一定}.}

III​

1–2. s=(κ−1)/κs=(\kappa-1)/\kappa とおく。断熱関係は TP−s=一定TP^{-s}=\text{一定} なので、

TA=T0rOAs,TC=T0(rrOA)s,TE=τT0r−s.T_A=T_0r_{OA}^s,\qquad \boxed{T_C=T_0\left(\frac r{r_{OA}}\right)^s,\qquad T_E=\tau T_0r^{-s}.}

3. 式 (10) に代入して、

W=CPT0[τ(1−r−s)−rOAs−(rrOA)s+2].\boxed{W=C_PT_0\left[\tau(1-r^{-s})-r_{OA}^s-\left(\frac r{r_{OA}}\right)^s+2\right].}

4. 相加相乗平均より、

rOAs+(rrOA)s≥2rs/2.r_{OA}^s+\left(\frac r{r_{OA}}\right)^s\ge2r^{s/2}.

等号は二段の圧力比が等しいときに成立する。したがって、

rOA=r,Wmax⁡=CPT0[τ(1−r−(κ−1)/κ)−2r(κ−1)/(2κ)+2].\boxed{r_{OA}=\sqrt r,\qquad W_{\max}=C_PT_0\left[\tau\left(1-r^{-(\kappa-1)/\kappa}\right) -2r^{(\kappa-1)/(2\kappa)}+2\right].}
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