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東京大学 工学系研究科 2013年8月実施 物理学2

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

真空中の接地された無限導体平面板の表面を yzyz 面（x=0x=0）とする。点 (a,0,0)(a,0,0)（a>0a>0）に点電荷または電気双極子があり、観測点を A(x,y,z)(x,y,z)（x>0x>0）とする。真空の誘電率を ε0\varepsilon_0 とし、答えに至る過程も記せ。

I​

B(a,0,0)(a,0,0) に電荷 +q+q を置く。x>0x>0 の電場は導体板を取り除き、C(−a,0,0)(-a,0,0) に像電荷 −q-q を置いた場合と同じである。AB、AC の距離を rAB,rACr_{AB},r_{AC} とする。板上で原点を中心とする半径 r′r' と r′+dr′r'+dr' の間の微小円環の面積を dSdS、誘導電荷を dQdQ とする。

  1. 点 A の電位 VAV_A を求めよ。
  2. 点 A の電場の xx 成分 ExE_x を求めよ。
  3. 板上の表面電荷密度 σ\sigma を求めよ。
  4. dQdQ を求めよ。
  5. 板上の誘導電荷の総量 QQ を求めよ。

II​

中心が (a,0,0)(a,0,0) にある双極子を考える。これは距離 bb だけ離れた +q,−q+q,-q からなり、双極子モーメントを p\boldsymbol p（p=∣p∣=qbp=|\boldsymbol p|=qb）とする。中心から A への位置ベクトルを r\boldsymbol r とし、b≪r=∣r∣b\ll r=|\boldsymbol r| とする。導体板がない場合の電位は

V≃p⋅r4πε0r3.V\simeq\frac{\boldsymbol p\cdot\boldsymbol r}{4\pi\varepsilon_0r^3}.

(a) 実双極子 p1\boldsymbol p_1 が +x+x 方向を向く場合、像双極子を p2\boldsymbol p_2 とする。各中心 (a,0,0),(−a,0,0)(a,0,0),(-a,0,0) から A へのベクトルを r1,r2\boldsymbol r_1,\boldsymbol r_2、その長さを r1,r2r_1,r_2、各モーメントとの角を θ1,θ2\theta_1,\theta_2 とする。電位と表面電荷密度を V//,σ//V_{//},\sigma_{//} とする。

  1. V//V_{//} を求めよ。
  2. σ//\sigma_{//} を求めよ。

(b) 実双極子 p3\boldsymbol p_3 が +z+z 方向を向く場合、像双極子を p4\boldsymbol p_4 とする。r3,r4,r3,r4,θ3,θ4\boldsymbol r_3,\boldsymbol r_4,r_3,r_4,\theta_3,\theta_4 も (a) と同様に定義し、電位と表面電荷密度を V⊥,σ⊥V_\perp,\sigma_\perp とする。

  1. V⊥V_\perp を求めよ。
  2. 板上の点 (0,0,a)(0,0,a) における σ⊥/σ//\sigma_\perp/\sigma_{//} を求めよ。
  3. y=0y=0 における σ⊥\sigma_\perp の zz 依存性を図示せよ。極値があればその値を求めて図に明記せよ。

接地平面の像電荷と二方向の像双極子

题目描述​

在真空中设置接地的无限导体平板，其表面为 yzyz 平面（x=0x=0）。在 (a,0,0)(a,0,0)（a>0a>0）放置点电荷或电偶极子，观察点为 A(x,y,z)(x,y,z)（x>0x>0）。真空介电常数为 ε0\varepsilon_0，各问均须给出推导。

I​

在 B(a,0,0)(a,0,0) 放置 +q+q。x>0x>0 的电场等同于撤去平板、在 C(−a,0,0)(-a,0,0) 放置像电荷 −q-q 的电场。AB、AC 距离分别为 rAB,rACr_{AB},r_{AC}。平板上以原点为圆心、半径在 r′r' 与 r′+dr′r'+dr' 之间的微小圆环面积为 dSdS，诱导电荷为 dQdQ。

  1. 求 A 的电势 VAV_A。
  2. 求 A 的电场 xx 分量 ExE_x。
  3. 求平板上的面电荷密度 σ\sigma。
  4. 求 dQdQ。
  5. 求平板上的总诱导电荷 QQ。

II​

将偶极子中心放在 (a,0,0)(a,0,0)。它由相距 bb 的 +q,−q+q,-q 构成，偶极矩为 p\boldsymbol p，其大小 p=qbp=qb。从偶极子中心指向 A 的位置矢量为 r\boldsymbol r，假设 b≪r=∣r∣b\ll r=|\boldsymbol r|。无导体板时，其电势近似为

V≃p⋅r4πε0r3.V\simeq\frac{\boldsymbol p\cdot\boldsymbol r}{4\pi\varepsilon_0r^3}.

(a) 实偶极矩 p1\boldsymbol p_1 沿 +x+x，像偶极矩为 p2\boldsymbol p_2。从实际中心 (a,0,0)(a,0,0) 和像中心 (−a,0,0)(-a,0,0) 指向 A 的矢量分别为 r1,r2\boldsymbol r_1,\boldsymbol r_2，长度为 r1,r2r_1,r_2，与各自偶极矩的夹角为 θ1,θ2\theta_1,\theta_2。电势和面电荷密度记为 V//,σ//V_{//},\sigma_{//}。

  1. 求 V//V_{//}。
  2. 求 σ//\sigma_{//}。

(b) 实偶极矩 p3\boldsymbol p_3 沿 +z+z，像偶极矩为 p4\boldsymbol p_4。类似定义 r3,r4,r3,r4,θ3,θ4\boldsymbol r_3,\boldsymbol r_4,r_3,r_4,\theta_3,\theta_4，电势和面电荷密度记为 V⊥,σ⊥V_\perp,\sigma_\perp。

  1. 求 V⊥V_\perp。
  2. 求平板上 (0,0,a)(0,0,a) 处的 σ⊥/σ//\sigma_\perp/\sigma_{//}。
  3. 绘出 y=0y=0 时 σ⊥\sigma_\perp 随 zz 的变化，求出极值并在图中标明。

Kai​

I​

ρ2=y2+z2\rho^2=y^2+z^2、rAB=(x−a)2+ρ2r_{AB}=\sqrt{(x-a)^2+\rho^2}、rAC=(x+a)2+ρ2r_{AC}=\sqrt{(x+a)^2+\rho^2} とおく。

1–2. 像電荷の電位を重ね合わせて微分すると、

VA=q4πε0(1rAB−1rAC),\boxed{V_A=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac1{r_{AB}}-\frac1{r_{AC}}\right),}
Ex=−∂VA∂x=q4πε0(x−arAB3−x+arAC3).\boxed{E_x=-\frac{\partial V_A}{\partial x} =\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{x-a}{r_{AB}^3}-\frac{x+a}{r_{AC}^3}\right).}

3. 導体表面の境界条件 σ=ε0Ex(0+)\sigma=\varepsilon_0E_x(0^+) より、

σ(y,z)=−qa2π(a2+y2+z2)3/2.\boxed{\sigma(y,z)=-\frac{qa}{2\pi(a^2+y^2+z^2)^{3/2}}.}

4–5. dS=2πr′ dr′dS=2\pi r'\,dr' なので、

dQ=−qar′(a2+r′2)3/2 dr′,Q=−qa∫0∞r′ dr′(a2+r′2)3/2=−q.\boxed{dQ=-\frac{qa r'}{(a^2+r'^2)^{3/2}}\,dr',\qquad Q=-qa\int_0^\infty\frac{r'\,dr'}{(a^2+r'^2)^{3/2}}=-q.}

II​

r−=(x−a)2+y2+z2r_-=\sqrt{(x-a)^2+y^2+z^2}、r+=(x+a)2+y2+z2r_+=\sqrt{(x+a)^2+y^2+z^2} とおく。

1–2. 板に垂直な双極子の像は同方向、すなわち p2=p1=pex\boldsymbol p_2=\boldsymbol p_1=p\boldsymbol e_x である。よって、

V//=p4πε0(cos⁡θ1r12+cos⁡θ2r22)=p4πε0(x−ar−3+x+ar+3).\boxed{V_{//}=\frac{p}{4\pi\varepsilon_0} \left(\frac{\cos\theta_1}{r_1^2}+\frac{\cos\theta_2}{r_2^2}\right) =\frac{p}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{x-a}{r_-^3}+\frac{x+a}{r_+^3}\right).}
σ//=−ε0∂V//∂x∣0+=p(2a2−y2−z2)2π(a2+y2+z2)5/2.\boxed{\sigma_{//}=-\varepsilon_0\left.\frac{\partial V_{//}}{\partial x}\right|_{0^+} =\frac{p(2a^2-y^2-z^2)}{2\pi(a^2+y^2+z^2)^{5/2}}.}

3. 板に平行な双極子の像は反対方向、すなわち p4=−p3=−pez\boldsymbol p_4=-\boldsymbol p_3=-p\boldsymbol e_z。したがって、

V⊥=p4πε0(cos⁡θ3r32+cos⁡θ4r42)=pz4πε0(1r−3−1r+3),\boxed{V_\perp=\frac{p}{4\pi\varepsilon_0} \left(\frac{\cos\theta_3}{r_3^2}+\frac{\cos\theta_4}{r_4^2}\right) =\frac{pz}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac1{r_-^3}-\frac1{r_+^3}\right),}
σ⊥=−3paz2π(a2+y2+z2)5/2.\sigma_\perp=-\frac{3paz}{2\pi(a^2+y^2+z^2)^{5/2}}.

4. y=0,z=ay=0,z=a を代入して、

σ⊥σ//=−3.\boxed{\frac{\sigma_\perp}{\sigma_{//}}=-3.}

5. y=0y=0 では、

dσ⊥dz=−3pa(a2−4z2)2π(a2+z2)7/2.\frac{d\sigma_\perp}{dz} =-\frac{3pa(a^2-4z^2)}{2\pi(a^2+z^2)^{7/2}}.

したがって、

z=−a2:σmax⁡=24p255 πa3,z=a2:σmin⁡=−24p255 πa3.\boxed{\begin{aligned} z=-\frac a2 &: \quad \sigma_{\max}=\frac{24p}{25\sqrt5\,\pi a^3},\\ z=\frac a2 &: \quad \sigma_{\min}=-\frac{24p}{25\sqrt5\,\pi a^3}. \end{aligned}}

原点を通る奇関数であり、z→±∞z\to\pm\infty では 00 に近づく。

板に平行な双極子による表面電荷密度

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