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東京大学 工学系研究科 2013年8月実施 物理学1

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

I​

面密度が一様で厚さと変形を無視できる、半径 aa、質量 MM の球殻を考える。中心 O を通る軸 ll と、中心からの半径がなす角を φ\varphi とする。

  1. 角度 φ\varphi と φ+dφ\varphi+d\varphi（dφ≪1d\varphi\ll1）に挟まれた微小円輪の質量 dMdM を、a,φ,dφa,\varphi,d\varphi、面密度 σ\sigma で表せ。
  2. 軸 ll まわりの慣性モーメントが I=2Ma2/3I=2Ma^2/3 であることを示せ。

II​

水平を xx、鉛直上向きを yy とする。球殻 A（質量 MM、半径 aa）の中心を固定し、xyxy 面に垂直な中心軸まわりに自由に回転できるようにする。静止した A の頂上に球殻 B（質量 m<Mm<M、半径 b<ab<a）を置き、静かに右へ転がす。B は静止から運動を始め、最後に A から離れる。離れるまで接点で滑らず、両中心は常に xyxy 面内にあり、B の回転軸も同面に垂直である。両球殻は一様で、厚さと変形を無視する。

両中心を結ぶ線と鉛直線のなす角を θ\theta とし、A、B の自転角速度はともに時計回りを正として ωA,ωB\omega_A,\omega_B とする。B の中心の公転角速度・角加速度を θ˙,θ¨\dot\theta,\ddot\theta とすると、非滑り条件は

aωA=(a+b)θ˙−bωB.(1)a\omega_A=(a+b)\dot\theta-b\omega_B. \tag{1}

垂直抗力を RR、摩擦力の大きさを FF、重力加速度を gg とする。図の x′x' は接線に沿う下り方向、y′y' は A の中心から外向きの法線方向である。

  1. A、B 各々の重心まわりの回転運動方程式を書け。
  2. B の重心の並進運動方程式を x′,y′x',y' 方向について書け。
  3. ωA,ωB\omega_A,\omega_B を M,m,a,b,θ˙M,m,a,b,\dot\theta で表せ。
  4. θ˙>0\dot\theta>0 を g,M,m,a,b,θg,M,m,a,b,\theta で表せ。
  5. B が A から離れる角度 θc\theta_c を M,mM,m で表せ。

球殻の微小円輪と滑らず転がる二つの球殻

题目描述​

I​

考虑面密度均匀、厚度与形变可忽略的球壳，半径为 aa、质量为 MM。轴 ll 通过球心 O，球面半径与该轴夹角为 φ\varphi。

  1. 求夹在 φ\varphi 与 φ+dφ\varphi+d\varphi（dφ≪1d\varphi\ll1）之间的微小圆环质量 dMdM，用 a,φ,dφa,\varphi,d\varphi 及面密度 σ\sigma 表示。
  2. 证明绕轴 ll 的转动惯量为 I=2Ma2/3I=2Ma^2/3。

II​

取 xx 水平向右、yy 竖直向上。固定球壳 A（质量 MM、半径 aa）的球心，使其可绕垂直于 xyxy 平面的中心轴自由转动。在静止的 A 顶部放置球壳 B（质量 m<Mm<M、半径 b<ab<a），从静止轻轻向右滚下，直到 B 脱离 A。脱离前接触处始终不滑动，两球心始终位于 xyxy 平面，B 的自转轴也垂直于该平面。两球壳均匀，厚度、形变均忽略。

球心连线与竖直方向的夹角为 θ\theta；A、B 的自转角速度 ωA,ωB\omega_A,\omega_B 均以顺时针为正，B 球心的公转角速度、角加速度为 θ˙,θ¨\dot\theta,\ddot\theta。无滑动条件为

aωA=(a+b)θ˙−bωB.a\omega_A=(a+b)\dot\theta-b\omega_B.

接触处法向力为 RR，摩擦力大小为 FF，重力加速度为 gg。x′x' 沿切线下坡方向，y′y' 沿两球心连线向外。

  1. 分别写出 A、B 绕各自质心的转动方程。
  2. 写出 B 质心沿 x′,y′x',y' 的平动方程。
  3. 用 M,m,a,b,θ˙M,m,a,b,\dot\theta 表示 ωA,ωB\omega_A,\omega_B。
  4. 用 g,M,m,a,b,θg,M,m,a,b,\theta 表示正值 θ˙\dot\theta。
  5. 用 M,mM,m 表示脱离角 θc\theta_c。

Kai​

I​

1. 円輪の周長は 2πasin⁡φ2\pi a\sin\varphi、幅は a dφa\,d\varphi より、

dM=2πσa2sin⁡φ dφ.\boxed{dM=2\pi\sigma a^2\sin\varphi\,d\varphi.}

2. M=4πa2σM=4\pi a^2\sigma なので、

I=∫0π(asin⁡φ)2dM=2πσa4∫0πsin⁡3φ dφ=8πσa43=23Ma2.I=\int_0^\pi(a\sin\varphi)^2dM =2\pi\sigma a^4\int_0^\pi\sin^3\varphi\,d\varphi =\frac{8\pi\sigma a^4}{3} =\boxed{\frac23Ma^2.}

II​

1. B に働く摩擦力は斜面を上る向きである。時計回りを正とすると、

23Ma2ω˙A=aF,23mb2ω˙B=bF.\boxed{\frac23Ma^2\dot\omega_A=aF,\qquad \frac23mb^2\dot\omega_B=bF.}

2. d=a+bd=a+b とおくと、

mdθ¨=mgsin⁡θ−F,−mdθ˙2=R−mgcos⁡θ.\boxed{md\ddot\theta=mg\sin\theta-F,\qquad -md\dot\theta^2=R-mg\cos\theta.}

3. 回転方程式と初期条件より MaωA=mbωBMa\omega_A=mb\omega_B。これと (1) を連立して、

ωA=m(a+b)(M+m)aθ˙,ωB=M(a+b)(M+m)bθ˙.\boxed{\omega_A=\frac{m(a+b)}{(M+m)a}\dot\theta,\qquad \omega_B=\frac{M(a+b)}{(M+m)b}\dot\theta.}

4. 固定軸は仕事をせず、静止摩擦による両球殻の仕事の和も零である。エネルギー保存より、

mgd(1−cos⁡θ)=12md2θ˙2+13Ma2ωA2+13mb2ωB2=m(5M+3m)6(M+m)d2θ˙2.mgd(1-\cos\theta) =\frac12md^2\dot\theta^2+\frac13Ma^2\omega_A^2+\frac13mb^2\omega_B^2 =\frac{m(5M+3m)}{6(M+m)}d^2\dot\theta^2.

したがって、

θ˙=6(M+m)g(1−cos⁡θ)(5M+3m)(a+b).\boxed{\dot\theta=\sqrt{\frac{6(M+m)g(1-\cos\theta)}{(5M+3m)(a+b)}}.}

5. 離れる瞬間は R=0R=0 であるから、dθ˙c2=gcos⁡θcd\dot\theta_c^2=g\cos\theta_c。よって、

θc=cos⁡−1 ⁣(6(M+m)11M+9m).\boxed{\theta_c=\cos^{-1}\!\left(\frac{6(M+m)}{11M+9m}\right).}
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