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東京大学 工学系研究科 2013年8月実施 数学 第5問

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

以下の問いに答えよ。導出過程も示すこと。ただし、ee は自然対数の底とする。

I​

tt を実数とする。22 つの関数 f(t)f(t) と g(t)g(t) の畳み込み積分は、

(f∗g)(t)=∫0tf(τ)g(t−τ) dτ(1)(f*g)(t)=\int_0^t f(\tau)g(t-\tau)\,d\tau\tag{1}

によって定義される。この定義に従って、f(t),g(t)f(t),g(t) が以下のように与えられたときの畳み込み積分を求めよ。ただし、ω\omega は実数の定数である。

  1. f(t)=cos⁡(ωt)f(t)=\cos(\omega t)、g(t)=sin⁡(ωt)g(t)=\sin(\omega t)
  2. f(t)=etf(t)=e^t、g(t)=e−tg(t)=e^{-t}

II​

関数 f(t)f(t) のラプラス変換 F(s)=L[f(t)]F(s)=L[f(t)] は次式で定義される。ただし ss は複素数である。

F(s)=L[f(t)]=∫0∞f(t)e−st dt(2)F(s)=L[f(t)]=\int_0^\infty f(t)e^{-st}\,dt\tag{2}

また、式 (1) で定義された畳み込み積分 (f∗g)(t)(f*g)(t) について、

L[(f∗g)(t)]=L[f(t)]L[g(t)](3)L[(f*g)(t)]=L[f(t)]L[g(t)]\tag{3}

が成り立つ。今、22 つの関数 q(t)q(t) と r(t)r(t) を下のように定める。

q(t)=u(t)−u(t−1)(4)q(t)=u(t)-u(t-1)\tag{4}
r(t)=t+sin⁡(2πt)(5)r(t)=t+\sin(2\pi t)\tag{5}

ただし、u(t)u(t) は以下のように定義される。

u(t)={0t≤0,1t>0.(6)u(t)=\begin{cases}0&t\le0,\\1&t>0.\end{cases}\tag{6}
  1. 0≤t<40\le t<4 の範囲で q(t)q(t) および r(t)r(t) の概形をそれぞれ図示せよ。
  2. q(t)q(t) および r(t)r(t) のラプラス変換を求めよ。
  3. y(t)=(q∗r)(t)y(t)=(q*r)(t) と定義する。y(t)y(t) を求めよ。また、0≤t<40\le t<4 の範囲でその概形を図示せよ。必要があれば、a≥0a\ge0 に対して L[f(t−a)u(t−a)]=e−asF(s)L[f(t-a)u(t-a)]=e^{-as}F(s) が成り立つことを用いよ。

III​

次の積分方程式の解 x(t)x(t) を求めよ。

x(t)+2et∫0tx(τ)e−τ dτ=tet(7)x(t)+2e^t\int_0^t x(\tau)e^{-\tau}\,d\tau=te^t\tag{7}

题目描述​

回答以下问题，并写出推导过程。ee 为自然对数的底。

I 设 tt 为实数。两个函数 f(t),g(t)f(t),g(t) 的卷积积分定义为

(f∗g)(t)=∫0tf(τ)g(t−τ) dτ.(1)(f*g)(t)=\int_0^t f(\tau)g(t-\tau)\,d\tau.\tag{1}

按此定义，求以下各组 f(t),g(t)f(t),g(t) 的卷积积分。其中 ω\omega 为实常数。

  1. f(t)=cos⁡(ωt)f(t)=\cos(\omega t)、g(t)=sin⁡(ωt)g(t)=\sin(\omega t)
  2. f(t)=etf(t)=e^t、g(t)=e−tg(t)=e^{-t}

II 函数 f(t)f(t) 的拉普拉斯变换 F(s)=L[f(t)]F(s)=L[f(t)] 定义如下，其中 ss 为复数。

F(s)=L[f(t)]=∫0∞f(t)e−st dt.(2)F(s)=L[f(t)]=\int_0^\infty f(t)e^{-st}\,dt.\tag{2}

对于式 (1) 定义的卷积积分 (f∗g)(t)(f*g)(t)，有

L[(f∗g)(t)]=L[f(t)]L[g(t)].(3)L[(f*g)(t)]=L[f(t)]L[g(t)].\tag{3}

现定义两个函数 q(t),r(t)q(t),r(t) 如下。

q(t)=u(t)−u(t−1)(4)q(t)=u(t)-u(t-1)\tag{4}
r(t)=t+sin⁡(2πt)(5)r(t)=t+\sin(2\pi t)\tag{5}

其中 u(t)u(t) 定义为

u(t)={0t≤0,1t>0.(6)u(t)=\begin{cases}0&t\le0,\\1&t>0.\end{cases}\tag{6}
  1. 分别画出 q(t),r(t)q(t),r(t) 在 0≤t<40\le t<4 范围内的大致图形。
  2. 求 q(t),r(t)q(t),r(t) 的拉普拉斯变换。
  3. 定义 y(t)=(q∗r)(t)y(t)=(q*r)(t)。求 y(t)y(t)，并画出其在 0≤t<40\le t<4 范围内的大致图形。必要时，可以使用对 a≥0a\ge0 成立的关系 L[f(t−a)u(t−a)]=e−asF(s)L[f(t-a)u(t-a)]=e^{-as}F(s)。

III 求下列积分方程的解 x(t)x(t)。

x(t)+2et∫0tx(τ)e−τ dτ=tet.(7)x(t)+2e^t\int_0^t x(\tau)e^{-\tau}\,d\tau=te^t.\tag{7}

Kai​

I​

  1. 積和公式を用いると、τ−t/2\tau-t/2 の奇関数の項は積分で消えるので、
∫0tcos⁡ωτsin⁡ω(t−τ) dτ=t2sin⁡ωt.\int_0^t\cos\omega\tau\sin\omega(t-\tau)\,d\tau =\boxed{\frac t2\sin\omega t}.
  1. e−t∫0te2τ dτ=sinh⁡t\displaystyle e^{-t}\int_0^t e^{2\tau}\,d\tau=\boxed{\sinh t}。

II​

q(t)q(t) は (0,1](0,1] で 11、それ以外で 00。r(t)r(t) は直線 tt に周期 11 の正弦波を加えたものである。 定義から積分して、

Q(s)=1−e−ss,R(s)=1s2+2πs2+4π2(Re⁡s>0).\begin{gathered} \boxed{Q(s)=\frac{1-e^{-s}}s,\qquad R(s)=\frac1{s^2}+\frac{2\pi}{s^2+4\pi^2}}\\ (\operatorname{Re}s>0). \end{gathered}

H(t)=∫0tr(v) dv=t2/2+(1−cos⁡2πt)/(2π)H(t)=\int_0^t r(v)\,dv=t^2/2+(1-\cos2\pi t)/(2\pi) とおくと、

y(t)=H(t)−u(t−1)H(t−1)={t22+1−cos⁡2πt2π,0≤t≤1,t−12,t>1.\begin{gathered} y(t)=H(t)-u(t-1)H(t-1)\\ =\boxed{\begin{cases} \dfrac{t^2}2+\dfrac{1-\cos2\pi t}{2\pi},&0\le t\le1,\\ t-\dfrac12,&t>1. \end{cases}} \end{gathered}

q(t)

r(t)

y(t)

0<t<10<t<1 では y′(t)=t+sin⁡(2πt)y'(t)=t+\sin(2\pi t) であるため、全区間で単調増加するわけではない。例えば y′(3/4)=−1/4<0y'(3/4)=-1/4<0 である。

III​

v(t)=e−tx(t)v(t)=e^{-t}x(t) とおくと、方程式は v(t)+2∫0tv(τ) dτ=tv(t)+2\int_0^t v(\tau)\,d\tau=t となる。 t=0t=0 より v(0)=0v(0)=0。微分して v′+2v=1v'+2v=1 を解くと、

x(t)=12(et−e−t)=sinh⁡t.\boxed{x(t)=\frac12(e^t-e^{-t})=\sinh t}.

Reference​

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