東京大学工学系研究科 2013年8月実施数学第4問

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

I. 直線 $L_v(u)=(u\cos v,u\sin v,v)$ において $v$ を連続的に変化させると、常螺面 $S(u,v)=L_v(u)$ を得る。点 $S(u,v)$ における法線ベクトルを求めよ。

II. $-1\le u\le1,0\le v\le2\pi$ に対応する部分の面積を求めよ。 $u=\sinh t$ と置換してよい。

III. $R(v)=S(1,v)=(\cos v,\sin v,v)$ とする。点 $R(v)$ における接線を、 $T_v(0)=R(v)$ を満たす媒介変数表示 $T_v(w)$ で表せ。

IV. 曲面 $D(v,w)=T_v(w)$ を考える。(1) $w\ne0$ のときの法線ベクトルを求めよ。 (2) 任意の $w_1,w_2\ne0$ と同一の $v$ に対し、二点の法線ベクトルが平行であることを示せ。

常螺面

I. 直线 $L_v(u)=(u\cos v,u\sin v,v)$ 扫过常螺面 $S(u,v)=L_v(u)$ 。求 $S$ 在 $(u,v)$ 处的法向量。

II. 求 $-1\le u\le1,\ 0\le v\le2\pi$ 对应曲面的面积。可用代换 $u=\sinh t$ 。

III. 令 $R(v)=S(1,v)=(\cos v,\sin v,v)$ 。求经过 $R(v)$ 、满足 $T_v(0)=R(v)$ 的切线参数式 $T_v(w)$ 。

IV. 令 $D(v,w)=T_v(w)$ 。(1) 当 $w\ne0$ 时求曲面的法向量；(2) 证明固定 $v$ 时，任意非零 $w_1,w_2$ 处的法向量平行。

S_u=(\cos v,\sin v,0),\qquad S_v=(-u\sin v,u\cos v,1),

従って法線ベクトルは $\boxed{S_u\times S_v=(\sin v,-\cos v,u)}$ と取れ、長さは $\sqrt{1+u^2}$ である。面積は

\boxed{\int_0^{2\pi}\int_{-1}^1\sqrt{1+u^2}\,du\,dv =2\pi\left(\sqrt2+\log(1+\sqrt2)\right)}.

$R'(v)=(-\sin v,\cos v,1)$ より、

\boxed{T_v(w)=(\cos v-w\sin v,\ \sin v+w\cos v,\ v+w)}.

D_v=(-\sin v-w\cos v,\cos v-w\sin v,1),\quad D_w=(-\sin v,\cos v,1).

従って、

\boxed{D_v\times D_w=w(-\sin v,\cos v,-1)}.

$w\ne0$ では非零である。 $v$ を固定すると非零の実数倍だけが変わるので、二つの法線ベクトルは平行である。