東京大学 工学系研究科 2013年8月実施 数学 第3問

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Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

I. 留数定理を用いて $\displaystyle\int_0^\pi\frac{\cos4\theta}{1+\cos^2\theta}\,d\theta$ を求めよ。

II. $\displaystyle\frac1{2\pi i}\oint_C\frac{e^z}{z^2(1-z^2)}\,dz$ を求めよ。 閉路 $C$ の $-1,0,1$ に対する巻き数は、それぞれ $1,2,-1$ である。

III. (1) $w=(z+1)/(z-1)$ による領域 $|z|<1$ と $\operatorname{Re}z<0$ の像をそれぞれ求めよ。

(2) 正の実数 $\alpha,\beta$ に対し、$w=(z-\alpha)/(\alpha z-1)$ は円環 $\beta<|z|<1$ を $|w-1/4|>1/4,\ |w|<1$ に写す。$\alpha,\beta$ を求めよ。

题目描述

I. 用留数定理求 $\displaystyle\int_0^\pi\frac{\cos4\theta}{1+\cos^2\theta}\,d\theta$。

II. 求 $\displaystyle\frac1{2\pi i}\oint_C\frac{e^z}{z^2(1-z^2)}\,dz$。闭路 $C$ 对 $-1,0,1$ 的绕数分别为 $1,2,-1$，方向见图。

III. (1) 求 $w=(z+1)/(z-1)$ 下区域 $|z|<1$ 和 $\operatorname{Re}z<0$ 的像。

(2) 正实数 $\alpha,\beta$ 使 $w=(z-\alpha)/(\alpha z-1)$ 把圆环 $\beta<|z|<1$ 映为 $|w-1/4|>1/4,\ |w|<1$。求 $\alpha,\beta$。

Kai

I

$\phi=2\theta$ とおくと、元の積分は $\int_0^{2\pi}\cos2\phi/(3+\cos\phi)\,d\phi$。 $J_j=\int_0^{2\pi}e^{ij\phi}/(3+\cos\phi)\,d\phi$（$j=0,2$）とおく。 $z=e^{i\phi}$ と変換すると、

$$J_j=\frac2i\oint_{|z|=1}\frac{z^j}{z^2+6z+1}\,dz.$$

円内の極は $\rho=-3+2\sqrt2$ のみで、もう一つの根は $-3-2\sqrt2$ だから、 $J_j=\pi\rho^j/\sqrt2$。$j=2$ の実部を取れば、

$$\boxed{I=\frac\pi{\sqrt2}(17-12\sqrt2)}.$$

II

被積分関数の $-1,0,1$ における留数はそれぞれ $e^{-1}/2,1,-e/2$。巻き数を掛けて加えると、

$$\boxed{\frac1{2\pi i}\oint_C\frac{e^z}{z^2(1-z^2)}\,dz =\frac{e^{-1}}2+2+\frac e2=2+\cosh1}.$$

III

1

逆変換も $z=(w+1)/(w-1)$ であるから、

$$|z|<1\iff|w+1|<|w-1|\iff\operatorname{Re}w<0.$$

また $\operatorname{Re}z=(|w|^2-1)/|w-1|^2$ なので、

$$\boxed{\{|z|<1\}\mapsto\{\operatorname{Re}w<0\},\qquad \{\operatorname{Re}z<0\}\mapsto\{|w|<1\}}.$$

2

この変換は単位円を保ち、

$$|w|^2-1=\frac{(1-\alpha^2)(|z|^2-1)}{|\alpha z-1|^2}.$$

円内の円環を単位円内に写すためには $0<\alpha<1$ が必要である。 $|z|=\beta$ のとき $|w-1/4|=1/4$ となる条件は

$$|(4-\alpha)z+1-4\alpha|^2=|\alpha z-1|^2.$$

$\operatorname{Re}z$ の係数と定数項を比較すると、 $\alpha^2-4\alpha+1=0$、$(2-\alpha)\beta^2+2\alpha^2-\alpha=0$。 従って、

$$\boxed{\alpha=\beta=2-\sqrt3}.$$

代入すると両辺の二乗の差は $8(2-\alpha)(|z|^2-\beta^2)$ となり、円環内では確かに $|w-1/4|>1/4$ である。