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東京大学 工学系研究科 2012年8月実施 物理学 第2問

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

誘電体（誘電率 ε1\varepsilon_1、透磁率 μ1\mu_1、導電率 σ1=0\sigma_1=0）から導体（ε2,μ2,σ2\varepsilon_2,\mu_2,\sigma_2）へ電磁波が垂直入射する。境界面を z=0z=0、導体を z≥0z\ge0 とする。電場は xx 成分 ExE_x、磁場は yy 成分 HyH_y のみをもち、角周波数は ω\omega である。入射波、透過波、反射波をそれぞれ (EIN,HIN)(E_{\rm IN},H_{\rm IN})、(ET,HT)(E_T,H_T)、(ER,HR)(E_R,H_R) と書き、

EIN=E1eiωt−ikz,HIN=H1eiωt−ikzE_{\rm IN}=E_1e^{i\omega t-ikz}, \qquad H_{\rm IN}=H_1e^{i\omega t-ikz}

とする。kk は波数、ii は虚数単位である。ε1,ε2,μ1,μ2,σ2\varepsilon_1,\varepsilon_2,\mu_1,\mu_2,\sigma_2 は実定数とし、

a=ε1μ1,b=σ2μ2ω,η=aba=\sqrt{\frac{\varepsilon_1}{\mu_1}}, \qquad b=\sqrt{\frac{\sigma_2}{\mu_2\omega}}, \qquad\eta=\frac ab

と置く。次の式を用い、導出過程も記せ。

rot⁡H=σE+ε∂E∂t,rot⁡E=−μ∂H∂t,\operatorname{rot}\boldsymbol H=\sigma\boldsymbol E+\varepsilon\frac{\partial\boldsymbol E}{\partial t}, \qquad \operatorname{rot}\boldsymbol E=-\mu\frac{\partial\boldsymbol H}{\partial t},
∂2Ex∂z2=εμ∂2Ex∂t2+μσ∂Ex∂t,∂2Hy∂z2=εμ∂2Hy∂t2+μσ∂Hy∂t.\frac{\partial^2E_x}{\partial z^2}=\varepsilon\mu\frac{\partial^2E_x}{\partial t^2}+\mu\sigma\frac{\partial E_x}{\partial t}, \qquad \frac{\partial^2H_y}{\partial z^2}=\varepsilon\mu\frac{\partial^2H_y}{\partial t^2}+\mu\sigma\frac{\partial H_y}{\partial t}.

良導体への垂直入射と反射・透過

I​

反射波の振幅を E3,H3E_3,H_3 とする。導体では σ2≫ε2ω\sigma_2\gg\varepsilon_2\omega として

ET=E2eiωt−(α+iβ)z,HT=H2eiωt−(α+iβ)z,α≃β≃μ2σ2ω2E_T=E_2e^{i\omega t-(\alpha+i\beta)z}, \qquad H_T=H_2e^{i\omega t-(\alpha+i\beta)z}, \qquad\alpha\simeq\beta\simeq\sqrt{\frac{\mu_2\sigma_2\omega}{2}}

と近似する。

  1. H1,H3H_1,H_3 を a,E1,E3a,E_1,E_3 で表せ。
  2. 入射波の位相速度 vv を ε1,μ1\varepsilon_1,\mu_1 で表せ。
  3. E2,H2E_2,H_2 の関係を導き、透過波の電場と磁場の位相差を求めよ。

II​

ポインティングベクトル S=E×H\boldsymbol S=\boldsymbol E\times\boldsymbol H の時間平均を S‾\overline{\boldsymbol S} とする。

  1. 入射・反射波の時間平均の大きさ ∣S‾IN∣,∣S‾R∣|\overline{\boldsymbol S}_{\rm IN}|,|\overline{\boldsymbol S}_R| を a,E1,E3a,E_1,E_3 で表せ。
  2. 透過波の ∣S‾T∣|\overline{\boldsymbol S}_T| を b,α,E2,zb,\alpha,E_2,z で表し、α\alpha の物理的意味を述べよ。
  3. 反射率 ∣S‾R∣/∣S‾IN∣|\overline{\boldsymbol S}_R|/|\overline{\boldsymbol S}_{\rm IN}| と透過率を η\eta の関数として求めよ。

题目描述​

平面电磁波从无损介质 1（ε1,μ1,σ1=0\varepsilon_1,\mu_1,\sigma_1=0）沿 +z+z 方向垂直入射到导体 2（ε2,μ2,σ2\varepsilon_2,\mu_2,\sigma_2），界面为 z=0z=0，导体占据 z≥0z\ge0。电场只有 ExE_x，磁场只有 HyH_y，角频率为 ω\omega。入射波为

EIN=E1eiωt−ikz,HIN=H1eiωt−ikz.E_{\rm IN}=E_1e^{i\omega t-ikz},\qquad H_{\rm IN}=H_1e^{i\omega t-ikz}.

反射、透射场分别记为 (ER,HR)(E_R,H_R)、(ET,HT)(E_T,H_T)。所有材料参数均为实常数，定义

a=ε1/μ1,b=σ2/(μ2ω),η=a/b.a=\sqrt{\varepsilon_1/\mu_1},\qquad b=\sqrt{\sigma_2/(\mu_2\omega)},\qquad\eta=a/b.

使用麦克斯韦方程 ∇×H=σE+ε∂tE\nabla\times\boldsymbol H=\sigma\boldsymbol E+\varepsilon\partial_t\boldsymbol E、∇×E=−μ∂tH\nabla\times\boldsymbol E=-\mu\partial_t\boldsymbol H，以及题给的电报方程 ∂z2Ex=εμ∂t2Ex+μσ∂tEx\partial_z^2E_x=\varepsilon\mu\partial_t^2E_x+\mu\sigma\partial_tE_x（HyH_y 同形）求解，并写出过程。

I. 反射波振幅为 E3,H3E_3,H_3。在良导体近似 σ2≫ε2ω\sigma_2\gg\varepsilon_2\omega 下，

ET=E2eiωt−(α+iβ)z,HT=H2eiωt−(α+iβ)z,α≃β≃μ2σ2ω/2.E_T=E_2e^{i\omega t-(\alpha+i\beta)z},\qquad H_T=H_2e^{i\omega t-(\alpha+i\beta)z}, \qquad\alpha\simeq\beta\simeq\sqrt{\mu_2\sigma_2\omega/2}.
  1. 用 a,E1,E3a,E_1,E_3 表示 H1,H3H_1,H_3。
  2. 求入射波的相速度。
  3. 导出 E2,H2E_2,H_2 的关系，求透射电场与磁场的相位差。

II. 令 S=E×H\boldsymbol S=\boldsymbol E\times\boldsymbol H，时间平均记为 S‾\overline{\boldsymbol S}。

  1. 用 a,E1,E3a,E_1,E_3 表示入射和反射能流密度的时间平均大小。
  2. 用 b,α,E2,zb,\alpha,E_2,z 表示透射能流密度的时间平均大小，并解释 α\alpha 的物理意义。
  3. 求以 η\eta 表示的功率反射率和透射率。

Kai​

I​

I.1・I.2​

∂zEx=−μ1∂tHy\partial_zE_x=-\mu_1\partial_tH_y を入射波と eiωt+ikze^{i\omega t+ikz} で進む反射波に適用すると

H1=aE1,H3=−aE3,v=ωk=1ε1μ1.\boxed{H_1=aE_1}, \qquad\boxed{H_3=-aE_3}, \qquad \boxed{v=\frac\omega k=\frac1{\sqrt{\varepsilon_1\mu_1}}}.

I.3​

透過波については

−(α+iβ)E2=−iμ2ωH2,H2=β−iαμ2ωE2.-(\alpha+i\beta)E_2=-i\mu_2\omega H_2, \qquad H_2=\frac{\beta-i\alpha}{\mu_2\omega}E_2.

良導体近似から

H2=b(1−i)2E2=be−iπ/4E2.\boxed{H_2=\frac{b(1-i)}{\sqrt2}E_2=be^{-i\pi/4}E_2}.

磁場は電場より位相が π/4\boxed{\pi/4} 遅れる。

II​

II.1​

複素振幅による時間平均は S‾z=12Re⁡(EH∗)\overline S_z=\frac12\operatorname{Re}(EH^*) である。よって

∣S‾IN∣=a2∣E1∣2,∣S‾R∣=a2∣E3∣2.\boxed{|\overline{\boldsymbol S}_{\rm IN}|=\frac a2|E_1|^2}, \qquad \boxed{|\overline{\boldsymbol S}_R|=\frac a2|E_3|^2}.

反射の平均エネルギー流は −z-z 向きである。

II.2​

∣S‾T(z)∣=b22∣E2∣2e−2αz.\boxed{|\overline{\boldsymbol S}_T(z)|=\frac{b}{2\sqrt2}|E_2|^2e^{-2\alpha z}}.

α\alpha は電場・磁場の振幅減衰定数であり、表皮深さは δ=1/α\delta=1/\alpha。エネルギー流は距離 1/(2α)1/(2\alpha) で 1/e1/e に減る。

II.3​

z=0z=0 で接線成分を連続にすると

E1+E3=E2,a(E1−E3)=b(1−i)2E2.E_1+E_3=E_2, \qquad a(E_1-E_3)=\frac{b(1-i)}{\sqrt2}E_2.

ζ=(1−i)/2\zeta=(1-i)/\sqrt2 と置いて解けば

E3E1=η−ζη+ζ,E2E1=2ηη+ζ.\frac{E_3}{E_1}=\frac{\eta-\zeta}{\eta+\zeta}, \qquad \frac{E_2}{E_1}=\frac{2\eta}{\eta+\zeta}.

したがって反射率 R\mathcal R と、界面から導体へ入る透過率 T\mathcal T は

R=η2−2η+1η2+2η+1,T=22ηη2+2η+1.\boxed{\mathcal R=\frac{\eta^2-\sqrt2\eta+1}{\eta^2+\sqrt2\eta+1}}, \qquad \boxed{\mathcal T=\frac{2\sqrt2\eta}{\eta^2+\sqrt2\eta+1}}.

R+T=1\mathcal R+\mathcal T=1 であり、深さ zz の能流比は Te−2αz\mathcal T e^{-2\alpha z} となる。

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