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東京大学 工学系研究科 2012年8月実施 数学 第5問

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

フーリエ変換を F(ω)=∫−∞∞f(t)e−iωt dtF(\omega)=\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-i\omega t}\,dt、逆変換を f(t)=(2π)−1∫−∞∞F(ω)eiωt dωf(t)=(2\pi)^{-1}\int_{-\infty}^\infty F(\omega)e^{i\omega t}\,d\omega とする。 周期 t0t_0 の関数 gg は cn=t0−1∫0t0g(t)e−inω0t dtc_n=t_0^{-1}\int_0^{t_0}g(t)e^{-in\omega_0t}\,dt、ω0=2π/t0\omega_0=2\pi/t_0 により g(t)=∑n∈Zcneinω0tg(t)=\sum_{n\in\mathbb Z}c_ne^{in\omega_0t} と展開される。

I. T0>0T_0>0、δ\delta をデルタ関数とし、fd(t)=∑k∈Zf(kT0)δ(t−kT0)f_d(t)=\sum_{k\in\mathbb Z}f(kT_0)\delta(t-kT_0) と定める。fdf_d のフーリエ変換 FdF_d を求めよ。

II. FdF_d が ω\omega に関して周期的であることを示し、任意の ff に共通の周期を求めよ。

III. ff が KT0KT_0 を周期とする場合、fdf_d のフーリエ係数 dnd_n を求めよ。KK は正の整数で、積分区間を [−ε,KT0−ε][-\varepsilon,KT_0-\varepsilon]（ε>0\varepsilon>0 は十分小さい）としてよい。 また dnd_n が nn に関して周期的であることを示し、共通周期 LL を求めよ。

IV. K=6K=6、a=e−2πi/6a=e^{-2\pi i/6} とする。d=(d0,…,dL−1)T\boldsymbol d=(d_0,\ldots,d_{L-1})^T、f=(f(0),…,f(5T0))T\boldsymbol f=(f(0),\ldots,f(5T_0))^T に対し d=Wf\boldsymbol d=W\boldsymbol f を満たす行列 WW を求め、各成分を ama^m（m=0,1,2m=0,1,2）と T0T_0 で表せ。

题目描述​

采用 F(ω)=∫−∞∞f(t)e−iωt dtF(\omega)=\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-i\omega t}\,dt、 f(t)=(2π)−1∫−∞∞F(ω)eiωt dωf(t)=(2\pi)^{-1}\int_{-\infty}^\infty F(\omega)e^{i\omega t}\,d\omega。 周期 t0t_0 的函数 gg 的 Fourier 系数为 cn=t0−1∫0t0g(t)e−inω0t dtc_n=t_0^{-1}\int_0^{t_0}g(t)e^{-in\omega_0t}\,dt，ω0=2π/t0\omega_0=2\pi/t_0， 且 g(t)=∑n∈Zcneinω0tg(t)=\sum_{n\in\mathbb Z}c_ne^{in\omega_0t}。

I. 设 T0>0T_0>0、δ\delta 为 Dirac delta，令 fd(t)=∑k∈Zf(kT0)δ(t−kT0)f_d(t)=\sum_{k\in\mathbb Z}f(kT_0)\delta(t-kT_0)。求其 Fourier 变换 FdF_d。

II. 证明 FdF_d 关于 ω\omega 周期，并求对任意 ff 都适用的共同周期。

III. 若 ff 周期为 KT0KT_0（KK 为正整数），把 fdf_d 也视作周期 KT0KT_0 的函数，求其 Fourier 系数 dnd_n。 积分可取 [−ε,KT0−ε][-\varepsilon,KT_0-\varepsilon]，ε>0\varepsilon>0 足够小。证明 dnd_n 关于整数 nn 周期，并求共同周期 LL。

IV. 取 K=6K=6，令 a=e−2πi/6a=e^{-2\pi i/6}。写出使 (d0,…,dL−1)T=W(f(0),…,f(5T0))T(d_0,\ldots,d_{L-1})^T=W(f(0),\ldots,f(5T_0))^T 的矩阵 WW，用 ama^m（m=0,1,2m=0,1,2）和 T0T_0 表示各元素。

Kai​

I–II​

delta 関数の抽出性から、

Fd(ω)=∑k∈Zf(kT0)e−iωkT0.\boxed{F_d(\omega)=\sum_{k\in\mathbb Z}f(kT_0)e^{-i\omega kT_0}}.

e−i(ω+2π/T0)kT0=e−iωkT0e^{-i(\omega+2\pi/T_0)kT_0}=e^{-i\omega kT_0} なので、共通周期は 2π/T0\boxed{2\pi/T_0} である。標本値のうち f(T0)f(T_0) だけが非零の場合を考えれば、これが全ての ff に共通する最小正周期と分かる。

III​

一周期の積分には k=0,…,K−1k=0,\ldots,K-1 のパルスが一つずつ含まれるので、

dn=1KT0∑k=0K−1f(kT0)e−2πink/K.\boxed{d_n=\frac1{KT_0}\sum_{k=0}^{K-1}f(kT_0)e^{-2\pi ink/K}}.

dn+K=dnd_{n+K}=d_n より、共通の整数周期は L=K\boxed{L=K}。個々のデータでは周期が短くなることもある。 パルスを含む展開は超関数の意味で解釈する。

IV​

Wnk=ank/(6T0)W_{nk}=a^{nk}/(6T_0)、0≤n,k≤50\le n,k\le5 であり、a3=−1a^3=-1 を用いて、

W=16T0(1111111aa2−1−a−a21a2−a1a2−a1−11−11−11−aa21−aa21−a2−a−1a2a).\boxed{W=\frac1{6T_0}\begin{pmatrix} 1&1&1&1&1&1\\ 1&a&a^2&-1&-a&-a^2\\ 1&a^2&-a&1&a^2&-a\\ 1&-1&1&-1&1&-1\\ 1&-a&a^2&1&-a&a^2\\ 1&-a^2&-a&-1&a^2&a \end{pmatrix}}.
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