東京大学 工学系研究科 2012年8月実施 数学 第4問 Author 祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)
Description 静止直交座標系 x y z xyz x yz P 0 P_0 P 0
( x 0 , y 0 , z 0 ) = ( a ( − b + cos t ) , a 1 − b 2 sin t , 0 ) , a > 0 , 0 < b < 1 (x_0,y_0,z_0)=\bigl(a(-b+\cos t),\ a\sqrt{1-b^2}\sin t,\ 0\bigr),\qquad a>0,\ 0<b<1 ( x 0 , y 0 , z 0 ) = ( a ( − b + cos t ) , a 1 − b 2 sin t , 0 ) , a > 0 , 0 < b < 1 と運動する。楕円と点を、y y y z z z x x x θ \theta θ P 1 P_1 P 1 0 < θ < π / 2 0<\theta<\pi/2 0 < θ < π /2 ( 1 + b ) cos 2 θ < 1 − b (1+b)\cos^2\theta<1-b ( 1 + b ) cos 2 θ < 1 − b X Y Z XYZ X Y Z Z Z Z z z z X X X x x x t t t
I. P 1 P_1 P 1
II. P 1 P_1 P 1 ( X 1 , Y 1 , Z 1 ) (X_1,Y_1,Z_1) ( X 1 , Y 1 , Z 1 )
III. 0 < t < 2 π 0<t<2\pi 0 < t < 2 π Y 1 = 0 Y_1=0 Y 1 = 0 t t t
IV. X Y XY X Y t = k π / 4 t=k\pi/4 t = kπ /4 k = 0 , … , 7 k=0,\ldots,7 k = 0 , … , 7
题目描述
静止坐标系中，点 P 0 P_0 P 0
( x 0 , y 0 , z 0 ) = ( a ( − b + cos t ) , a 1 − b 2 sin t , 0 ) , a > 0 , 0 < b < 1. (x_0,y_0,z_0)=\bigl(a(-b+\cos t),\ a\sqrt{1-b^2}\sin t,\ 0\bigr),
\qquad a>0,\quad0<b<1. ( x 0 , y 0 , z 0 ) = ( a ( − b + cos t ) , a 1 − b 2 sin t , 0 ) , a > 0 , 0 < b < 1. 将椭圆和点绕 y y y θ \theta θ P 1 P_1 P 1 z z z x x x 0 < θ < π / 2 0<\theta<\pi/2 0 < θ < π /2 ( 1 + b ) cos 2 θ < 1 − b (1+b)\cos^2\theta<1-b ( 1 + b ) cos 2 θ < 1 − b z z z X Y Z XYZ X Y Z Z = z Z=z Z = z X X X x x x t t t
I. 求 P 1 P_1 P 1
II. 求其在旋转坐标系中的坐标 ( X 1 , Y 1 , Z 1 ) (X_1,Y_1,Z_1) ( X 1 , Y 1 , Z 1 )
III. 求 0 < t < 2 π 0<t<2\pi 0 < t < 2 π Y 1 = 0 Y_1=0 Y 1 = 0
IV. 画出其在 X Y XY X Y t = k π / 4 t=k\pi/4 t = kπ /4 k = 0 , … , 7 k=0,\ldots,7 k = 0 , … , 7
Kai c = cos θ , h = sin θ , s = 1 − b 2 c=\cos\theta,h=\sin\theta,s=\sqrt{1-b^2} c = cos θ , h = sin θ , s = 1 − b 2 ( 1 + b ) c < s (1+b)c<s ( 1 + b ) c < s
I–II
y y y
( x 1 , y 1 , z 1 ) = a ( c ( cos t − b ) , s sin t , h ( b − cos t ) ) . \boxed{(x_1,y_1,z_1)=a\bigl(c(\cos t-b),\ s\sin t,\ h(b-\cos t)\bigr)}. ( x 1 , y 1 , z 1 ) = a ( c ( cos t − b ) , s sin t , h ( b − cos t ) ) . 座標軸がさらに t t t X 1 = x 1 cos t + y 1 sin t , Y 1 = − x 1 sin t + y 1 cos t X_1=x_1\cos t+y_1\sin t,\ Y_1=-x_1\sin t+y_1\cos t X 1 = x 1 cos t + y 1 sin t , Y 1 = − x 1 sin t + y 1 cos t
X 1 = a [ s + ( c − s ) cos 2 t − b c cos t ] , Y 1 = a sin t [ ( s − c ) cos t + b c ] , Z 1 = a h ( b − cos t ) . \boxed{\begin{aligned}
X_1&=a[s+(c-s)\cos^2t-bc\cos t],\\
Y_1&=a\sin t[(s-c)\cos t+bc],\\
Z_1&=ah(b-\cos t).
\end{aligned}} X 1 Y 1 Z 1 = a [ s + ( c − s ) cos 2 t − b c cos t ] , = a sin t [( s − c ) cos t + b c ] , = ah ( b − cos t ) . III
Y 1 = 0 Y_1=0 Y 1 = 0 sin t = 0 \sin t=0 sin t = 0 cos t = − b c / ( s − c ) \cos t=-bc/(s-c) cos t = − b c / ( s − c ) 0 < b c / ( s − c ) < 1 0<bc/(s-c)<1 0 < b c / ( s − c ) < 1 t ∗ = arccos [ − b c / ( s − c ) ] t_*=\arccos[-bc/(s-c)] t ∗ = arccos [ − b c / ( s − c )]
t ( X 1 , Y 1 , Z 1 ) π ( a ( 1 + b ) c , 0 , a ( 1 + b ) h ) t ∗ , 2 π − t ∗ ( a s , 0 , a b h s / ( s − c ) ) . \boxed{\begin{array}{c|c}
t& (X_1,Y_1,Z_1)\\\hline
\pi&(a(1+b)c,\ 0,\ a(1+b)h)\\
t_*,\ 2\pi-t_*&(as,\ 0,\ abhs/(s-c))
\end{array}}. t π t ∗ , 2 π − t ∗ ( X 1 , Y 1 , Z 1 ) ( a ( 1 + b ) c , 0 , a ( 1 + b ) h ) ( a s , 0 , abh s / ( s − c )) . 投影は X X X t ∗ t_* t ∗ 2 π − t ∗ 2\pi-t_* 2 π − t ∗ L − = ( s + c − 2 b c ) / 2 L_-=(s+c-\sqrt2bc)/2 L − = ( s + c − 2 b c ) /2 L + = ( s + c + 2 b c ) / 2 L_+=(s+c+\sqrt2bc)/2 L + = ( s + c + 2 b c ) /2 B + = ( s − c ) / 2 + b c / 2 B_+=(s-c)/2+bc/\sqrt2 B + = ( s − c ) /2 + b c / 2 B − = − ( s − c ) / 2 + b c / 2 B_-=-(s-c)/2+bc/\sqrt2 B − = − ( s − c ) /2 + b c / 2
k k k X 1 / a X_1/a X 1 / a Y 1 / a Y_1/a Y 1 / a 0 ( 1 − b ) c (1-b)c ( 1 − b ) c 0 0 0 1 L − L_- L − B + B_+ B + 2 s s s b c bc b c 3 L + L_+ L + B − B_- B − 4 ( 1 + b ) c (1+b)c ( 1 + b ) c 0 0 0 5 L + L_+ L + − B − -B_- − B − 6 s s s − b c -bc − b c 7 L − L_- L − − B + -B_+ − B +
図は条件を満たす a = 1 , b = 0.4 , θ = 1 a=1,b=0.4,\theta=1 a = 1 , b = 0.4 , θ = 1 k k k t = k π / 4 t=k\pi/4 t = kπ /4
