東京大学工学系研究科 2012年8月実施数学第3問

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

I. $f(z)=1/[(z-1)z(z+2)]$ とする。 (1) $1<|z-1|<3$ におけるローラン展開を求めよ。 (2) $|z-1|=2$ を反時計回りに二周する経路 $C$ に沿う積分 $\oint_C f(z)\,dz$ を求めよ。

II. $g(z)=z^2/(z^4+1)$ とする。 (1) 上半平面にある極をすべて求めよ。 (2) 留数定理により $\int_{-\infty}^\infty x^2/(x^4+1)\,dx$ を計算せよ。

I. 设 $f(z)=1/[(z-1)z(z+2)]$ 。 (1) 求 $1<|z-1|<3$ 上的 Laurent 展开；(2) 对沿 $|z-1|=2$ 逆时针绕行两周的闭路 $C$ ，求 $\oint_C f(z)\,dz$ 。

II. 设 $g(z)=z^2/(z^4+1)$ 。(1) 求上半平面的全部极点；(2) 用留数定理计算 $\int_{-\infty}^\infty x^2/(x^4+1)\,dx$ 。

$w=z-1$ とおき、部分分数に分解すると、

f(z)=\frac1{3w}-\frac1{2(w+1)}+\frac1{6(w+3)}.

$1<|w|<3$ でそれぞれ展開して、

\boxed{f(z)=\frac1{3w}-\frac12\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{w^{n+1}} +\frac1{18}\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nw^n}{3^n}}.

$w^{-1}$ の係数は $1/3-1/2=-1/6$ である。経路は二周するから、

\boxed{\oint_C f(z)\,dz=4\pi i\left(-\frac16\right)=-\frac{2\pi i}3}.

上半平面の極は $\boxed{z_1=e^{i\pi/4},\ z_2=e^{3i\pi/4}}$ で、いずれも一位の極であり、 $\operatorname{Res}_{z_j}g=1/(4z_j)$ 。上半円弧の積分は $O(R^{-1})\to0$ なので、

\boxed{\int_{-\infty}^\infty\frac{x^2}{x^4+1}\,dx =2\pi i\left(\frac1{4z_1}+\frac1{4z_2}\right)=\frac\pi{\sqrt2}}.