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東京大学 工学系研究科 2012年8月実施 数学 第2問

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

実対称行列 A=(2−10−13−10−12)A=\begin{pmatrix}2&-1&0\\-1&3&-1\\0&-1&2\end{pmatrix} を考える。

I. すべての固有値と対応する固有ベクトルを求めよ。

II. 自然数 nn に対し AnA^n を求めよ。

III. 実数 λ\lambda が det⁡(λI−A)≠0\det(\lambda I-A)\ne0 を満たすとする。 b=(3,−1,1)T\boldsymbol b=(3,-1,1)^T に対し (λI−A)x=b(\lambda I-A)\boldsymbol x=\boldsymbol b を解き、次式を示せ。

xTx=3(λ−1)2+2(λ−2)2+6(λ−4)2.\boldsymbol x^T\boldsymbol x=\frac3{(\lambda-1)^2}+\frac2{(\lambda-2)^2}+\frac6{(\lambda-4)^2}.

题目描述​

设 A=(2−10−13−10−12)A=\begin{pmatrix}2&-1&0\\-1&3&-1\\0&-1&2\end{pmatrix}。

I. 求全部特征值及对应特征向量。

II. 求 AnA^n，nn 为自然数。

III. 设实数 λ\lambda 满足 det⁡(λI−A)≠0\det(\lambda I-A)\ne0，b=(3,−1,1)T\boldsymbol b=(3,-1,1)^T。 求 (λI−A)x=b(\lambda I-A)\boldsymbol x=\boldsymbol b 的解，并证明

xTx=3(λ−1)2+2(λ−2)2+6(λ−4)2.\boldsymbol x^T\boldsymbol x =\frac3{(\lambda-1)^2}+\frac2{(\lambda-2)^2}+\frac6{(\lambda-4)^2}.

Kai​

I​

det⁡(λI−A)=(λ−1)(λ−2)(λ−4)\det(\lambda I-A)=(\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda-4)。 対応する正規直交固有ベクトルは次のように取れる。

λ1=1, u1=13(1,1,1)T;λ2=2, u2=12(1,0,−1)T;λ3=4, u3=16(1,−2,1)T.\boxed{\lambda_1=1,\ \boldsymbol u_1=\frac1{\sqrt3}(1,1,1)^T;\quad \lambda_2=2,\ \boldsymbol u_2=\frac1{\sqrt2}(1,0,-1)^T;\quad \lambda_3=4,\ \boldsymbol u_3=\frac1{\sqrt6}(1,-2,1)^T}.

各固有空間は対応するベクトルの定数倍全体である。

II​

スペクトル分解 An=∑jλjnujujTA^n=\sum_j\lambda_j^n\boldsymbol u_j\boldsymbol u_j^T より、

An=13(111111111)+2n2(10−1000−101)+4n6(1−21−24−21−21).\boxed{A^n=\frac13\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix} +\frac{2^n}2\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&0&0\\-1&0&1\end{pmatrix} +\frac{4^n}6\begin{pmatrix}1&-2&1\\-2&4&-2\\1&-2&1\end{pmatrix}}.

III​

b⋅u1=3\boldsymbol b\cdot\boldsymbol u_1=\sqrt3、b⋅u2=2\boldsymbol b\cdot\boldsymbol u_2=\sqrt2、 b⋅u3=6\boldsymbol b\cdot\boldsymbol u_3=\sqrt6 なので、

x=(1,1,1)Tλ−1+(1,0,−1)Tλ−2+(1,−2,1)Tλ−4.\boxed{\boldsymbol x=\frac{(1,1,1)^T}{\lambda-1} +\frac{(1,0,-1)^T}{\lambda-2} +\frac{(1,-2,1)^T}{\lambda-4}}.

三つのベクトルは互いに直交し、ノルムの二乗はそれぞれ 3,2,63,2,6 であるから、題意の等式を得る。

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