東京大学 工学系研究科 2012年8月実施 数学 第1問

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Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

I. 次の微分方程式の一般解をそれぞれ求めよ。

1. $y''+4y'+4y=4e^{2x}$。
2. $x^3y^{(3)}-3x^2y''+6xy'-6y=2x^4e^x$。

II. $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos(2\theta)\log(\cos\theta)\,d\theta$ を計算せよ。

题目描述

I. 分别求下列微分方程的通解：

1. $y''+4y'+4y=4e^{2x}$。
2. $x^3y^{(3)}-3x^2y''+6xy'-6y=2x^4e^x$。

II. 计算 $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos(2\theta)\log(\cos\theta)\,d\theta$。

Kai

I

1. 特性方程式は $(\lambda+2)^2=0$。特解を $Ae^{2x}$ とおくと $16A=4$ なので、

$$\boxed{y=(C_1+C_2x)e^{-2x}+\frac14e^{2x}}.$$

2. $x\ne0$ の区間で $y=xu$ とおくと左辺は $x^4u^{(3)}$ となる。従って $u^{(3)}=2e^x$ を三回積分して、

$$\boxed{y=C_1x+C_2x^2+C_3x^3+2xe^x}.$$

II

$\sin2\theta\log\cos\theta\to0$（$\theta\uparrow\pi/2$）を用い、部分積分すると、

$$I=\left[\frac12\sin2\theta\log\cos\theta\right]_0^{\pi/2} +\frac12\int_0^{\pi/2}\sin2\theta\tan\theta\,d\theta =\int_0^{\pi/2}\sin^2\theta\,d\theta =\boxed{\frac\pi4}.$$