東京大学工学系研究科 2011年8月実施数学第5問

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

フーリエ変換と逆変換を

F(\omega)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-i\omega x}\,dx, \qquad f(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty F(\omega)e^{i\omega x}\,d\omega

と定義する。 $g(x)=1-|x|/d$ （ $|x|\le d$ ）、 $g(x)=0$ （ $|x|>d$ ）とし、 $0<d<a/2$ 、 $N$ は正の整数とする。

I. 次の各 $f$ の変換 $F$ を求めよ。 (1) $f(x)=g(x)$ 。 (2) $f(x)=g(x-a)+g(x)+g(x+a)$ 。 (3) $f(x)=\sum_{n=-N}^Ng(x-na)$ 。

II. I(3) の場合に $\int_{-\infty}^\infty|F(\omega)|^2\,d\omega$ を求めよ。

采用对称归一化的 Fourier 变换

F(\omega)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-i\omega x}\,dx, \qquad f(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty F(\omega)e^{i\omega x}\,d\omega.

令 $g(x)=1-|x|/d$ （ $|x|\le d$ ），其他处为 $0$ ，其中 $0<d<a/2$ ， $N$ 为正整数。

I. 分别求下列函数的 $F(\omega)$ ：(1) $f(x)=g(x)$ ；(2) $f(x)=g(x-a)+g(x)+g(x+a)$ ； (3) $f(x)=\sum_{n=-N}^N g(x-na)$ 。

II. 对 I(3) 的函数，求 $\int_{-\infty}^\infty|F(\omega)|^2\,d\omega$ 。

偶関数であることを用いて部分積分すると、

G(\omega)=\frac2{\sqrt{2\pi}}\int_0^d(1-x/d)\cos\omega x\,dx =\boxed{\frac{2(1-\cos\omega d)}{\sqrt{2\pi}\,d\omega^2}}\quad(\omega\ne0).

$\omega=0$ では連続延長して $\boxed{G(0)=d/\sqrt{2\pi}}$ とする。

平行移動した関数 $g(x-na)$ の変換は $e^{-ina\omega}G(\omega)$ だから、

\boxed{F_2(\omega)=(1+2\cos a\omega)G(\omega)},

\boxed{F_3(\omega)=G(\omega)\sum_{n=-N}^Ne^{-ina\omega} =G(\omega)\frac{\sin((N+1/2)a\omega)}{\sin(a\omega/2)}}.

最後の比は $a\omega\in2\pi\mathbb Z$ では連続値 $2N+1$ とする。

$2d<a$ により三角波の台は互いに交わらない。Parseval の等式から、

\int_{-\infty}^\infty|F_3(\omega)|^2\,d\omega =\int_{-\infty}^\infty|f(x)|^2\,dx =(2N+1)\,2\int_0^d(1-x/d)^2\,dx =\boxed{\frac{2d(2N+1)}3}.