東京大学 工学系研究科 2011年8月実施 数学 第2問

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Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

実対称行列 $A=\begin{pmatrix}0&-1&-1\\-1&0&-1\\-1&-1&\alpha\end{pmatrix}$（$\alpha\ge0$）を考える。

I. $\alpha=5/2$ のとき、すべての固有値と対応する大きさ $1$ の固有ベクトルを求めよ。

II. $\alpha>0$ とし、固有値を $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ とする。 (1) これらを $\alpha$ で表し、すべて異なることを示せ。 (2) $\lim_{\alpha\to\infty}\max_j\lambda_j/\alpha$ を求めよ。 (3) $\lim_{\alpha\downarrow0}\min_j\lambda_j$ を求めよ。

III. $\alpha=0$ のとき $A^n$ の全成分を求めよ。$n$ は正の整数とする。

题目描述

设 $A=\begin{pmatrix}0&-1&-1\\-1&0&-1\\-1&-1&\alpha\end{pmatrix}$，$\alpha\ge0$。

I. 当 $\alpha=5/2$ 时，求全部特征值及对应的单位特征向量。

II. 当 $\alpha>0$ 时，将全部特征值记为 $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$。 (1) 用 $\alpha$ 表示它们并证明互不相同；(2) 求 $\lim_{\alpha\to\infty}\max_j\lambda_j/\alpha$； (3) 求 $\lim_{\alpha\downarrow0}\min_j\lambda_j$。

III. 当 $\alpha=0$ 时，求 $A^n$ 的全部元素，$n$ 为正整数。

Kai

I–II

$\boldsymbol u=(1,-1,0)^T$ は固有値 $1$ に対応する。 不変部分空間 $x=y$ でベクトルを $(x,x,z)^T$ とおくと、特性方程式は $(\lambda+1)(\lambda-\alpha)-2=0$ となる。従って、

$$\boxed{\lambda_1=1,\quad \lambda_\pm=\frac{\alpha-1\pm\sqrt{\alpha^2+2\alpha+9}}2}.$$

$\alpha>0$ では $\lambda_-<0<1<\lambda_+$ であり、三つの固有値は互いに異なる。 $\alpha=5/2$ のとき、固有値と単位固有ベクトルはすべて次の通りである。

$$\boxed{\begin{array}{c|c} 1&\pm(1,-1,0)^T/\sqrt2\\ 3&\pm(1,1,-4)^T/\sqrt{18}\\ -3/2&\pm(2,2,1)^T/3 \end{array}}.$$

一般式から直ちに、

$$\boxed{\lim_{\alpha\to\infty}\frac{\lambda_+}{\alpha}=1,\qquad \lim_{\alpha\downarrow0}\lambda_-=-2}.$$

III

このとき $A=I-J$ である。$J$ は全成分が $1$ の行列で、$P=J/3$ は $(1,1,1)^T$ 方向への直交射影である。 従って、

$$\boxed{A^n=(I-P)+(-2)^nP=I+\frac{(-2)^n-1}{3}J}.$$

すなわち対角成分は $[2+(-2)^n]/3$、非対角成分は $[(-2)^n-1]/3$ である。