東京大学 工学系研究科 物理工学専攻 2019年8月実施 物理学 第3問

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Miyake

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固体表面における原子の吸着現象の簡単なモデルとして、原子が吸着できる場所（吸着サイト）が 個並んだ吸着格子と単原子理想気体が接した系を考える（図 1 を参照）。 なお、この系はボルツマン統計に従うものとする。 各吸着サイトは互いに独立で、それぞれ原子が吸着していないか、1つだけ吸着しているかのいずれかの状態をとるものとし、それぞれの状態のエネルギーを とする ()。 各原子の質量を とし、原子の内部自由度は考えない。 この系全体は、温度 、化学ポテンシャル の熱平衡状態にあるものとする。 ボルツマン定数を 、逆温度を 、プランク定数を で割ったものを とする。

[1] まず、単原子理想気体のみを考える。体積 中の単原子 個からなる理想気体の分配関数は

で与えられることを示せ。

[2] 式 (1) を用いて、大分配関数 を求めよ。

[3] 理想気体の圧力 は、 を用いて と与えられる。これに問 [2] の結果を用いることで、 の表式を求めよ。

[4] 次に、この単原子理想気体が吸着格子に接している状況を考える。1つの吸着サイトに着目し、それがとりうる状態に関する大分配関数 を求めよ。

[5] 吸着格子全体の大分配関数は で与えられる。これを用いて、吸着している原子の密度 （吸着原子の総数を で割ったもの）を求めよ。

[6] 問 [3] と [5] の結果を用いて、吸着原子密度 を圧力 と温度 の関数として表せ。

[7] 問 [6] で得られた を、温度 一定のもとで圧力 の関数として図示せよ。また、圧力 一定のもとで温度 の関数としても図示せよ。

Kai

[1]

まず、1粒子について考えると、空間積分は体積 となる。 また、運動量に関する積分は、1成分について、次のように計算できる：

よって、全体の分配関数は、

となる。

[2]

[3]

[4]

[5]

吸着格子全体の大分配関数は、

であり、グランドポテンシャルは、

であり、よって、

である。

[6]

[3] より、

であるから、これを [5] に代入して、

を得る。

[7]