東京大学 工学系研究科 航空宇宙工学専攻 2022年度 固体力学（午後）

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Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

原題：2022年度専門科目（午後）。図の条件は以下に文章で明記する。

2枚の十分長い金属母板を突き合わせ、外側両面に同じ材料の当て板を配置してボルト締結する。各母板側に幅方向に1列ずつボルトが並び、引張荷重は板の長手方向に作用する。単位幅当たりの荷重を $P$、ボルト径を $d$、母板厚さを $t$、各当て板の厚さを $t_1$、幅方向のボルト間隔を $b$ とする。ボルトは当て板・母板・当て板を貫通する。必要な用語や記号は定義して用いてよい。

第1問 同じ材質の板の単軸引張試験を行った。試験片の厚さは $2.0\,\mathrm{mm}$、平行部幅は $25\,\mathrm{mm}$、平行部長さは $100\,\mathrm{mm}$、伸び計の標点間距離は $80\,\mathrm{mm}$ である。以下から引張弾性率と引張強さを求めよ。

伸び $\delta$ [mm]	引張荷重 $F$ [N]
0.000	0
0.024	1007
0.048	2016
0.064	2838
0.080	3533
0.138	4424
0.278	5227
0.448	5665
0.640	5820
0.801	5928
1.696	5933
2.480	5933
3.288	5933
4.200	5933

第2問 母板の引張破壊とボルトのせん断破壊について、各破壊モードを簡潔に説明し、対応する強度設計式を示せ。

第3問 第2問以外に考えられる破壊モードを3つ挙げ、略図で説明せよ。

第4問 $t=2.5\,\mathrm{mm},\ t_1=1.5\,\mathrm{mm},\ d=6.0\,\mathrm{mm}$ とする。ボルトのせん断強さは $150\,\mathrm{MPa}$ である。第2問の結果に基づき、破壊時の $P$ を最大にする $b$ を求めよ。

题目描述

将两块足够长的金属母板对接，在两面各加一块同材质盖板并用螺栓连接。对接处两侧各有一排沿板宽排列的螺栓，拉力沿板长作用。单位宽度拉力为 $P$，母板厚 $t$，每块盖板厚 $t_1$，螺栓直径 $d$，沿宽度的间距 $b$。螺栓穿过盖板、母板、盖板，形成双剪连接。

1. 同材质拉伸试样厚 $2.0\,\mathrm{mm}$、平行段宽 $25\,\mathrm{mm}$、长 $100\,\mathrm{mm}$，引伸计标距为 $80\,\mathrm{mm}$。根据上表全部伸长—荷载数据求弹性模量和抗拉强度。
2. 说明母板拉断和螺栓剪断两种失效，并写出对应强度设计式。
3. 再列出三种其他失效模式，用简图说明。
4. 给定 $t=2.5,t_1=1.5,d=6.0$（单位 mm），螺栓抗剪强度为 $150\,\mathrm{MPa}$。只考虑第2问两种模式，求使连接极限单位宽度荷载最大的螺栓间距。

Kai

第1問

初期断面積は $A_0=2\times25=50\,\mathrm{mm^2}$。ひずみは平行部長さでなく標点間距離 $80\,\mathrm{mm}$ により $\varepsilon=\delta/80$ とする。

初期の $0\le\delta\le0.080\,\mathrm{mm}$ の5点を原点を通る直線 $F=k\delta$ で近似すると

$$k=\frac{\sum\delta_iF_i}{\sum\delta_i^2}=4.3751\times10^4\,\mathrm{N/mm}.$$

したがって

$$\boxed{E=\frac{80k}{50}\simeq7.00\times10^4\,\mathrm{MPa}=70.0\,\mathrm{GPa}},\qquad \boxed{\sigma_B=\frac{5933}{50}=118.66\,\mathrm{MPa}\simeq119\,\mathrm{MPa}}.$$

第2問

幅 $b$ の1ピッチで伝達する力は $Pb$。母板の穴を通る正味断面積は $(b-d)t$ なので、母板の引張破壊を防ぐ条件は

$$\boxed{Pb\le\sigma_B(b-d)t}.$$

ボルトは二つの母板・当て板界面でせん断される。せん断強さを $\tau_B$ とすれば

$$\boxed{Pb\le2\frac{\pi d^2}{4}\tau_B}.$$

実設計で安全率を設ける場合は、強さの代わりに対応する許容応力を用いる。

第3問

次の3モードがある。図の赤線・赤領域が破壊箇所で、矢印は荷重方向を表す。

1. 穴縁の支圧破壊：ボルトと板の接触により穴縁が圧潰し、穴が荷重方向に広がる。母板の支圧強さを $\sigma_{\rm br}$ とすれば、母板に対する条件は $Pb\le\sigma_{\rm br}dt$。
2. 母板端部のせん断抜け：穴から板端までの二つの面がせん断される。穴縁から自由端までの有効距離を $e$、母板のせん断強さを $\tau_s$ とすると、$Pb\le2et\tau_s$。
3. 当て板の正味断面破断：ボルト穴を横切る断面で2枚の当て板が引張破断する。同材で等分担すると、$Pb\le2t_1(b-d)\sigma_B$。

第4問

指定された二つのモードから

$$P_{\rm lim}(b)=\min\left\{\sigma_Bt\left(1-\frac db\right),\ \frac{\pi d^2\tau_B}{2b}\right\},\qquad b>d.$$

第1項は $b$ とともに増加し、第2項は減少するので、最大値は両者の交点で生じる。

$$\sigma_Bt(b-d)=\frac{\pi d^2\tau_B}{2}.$$

したがって

$$\boxed{b=d+\frac{\pi d^2\tau_B}{2\sigma_Bt} =6+\frac{\pi(6)^2(150)}{2(118.66)(2.5)}\simeq34.6\,\mathrm{mm}}.$$

このとき $P_{\rm lim}\simeq245\,\mathrm{N/mm}$。これは指定された二つの破壊モードについての最適値であり、支圧破壊などまで評価するには、それぞれの強度値や端距離が別途必要となる。