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東京大学 工学系研究科 航空宇宙工学専攻 2022年度 推進工学（午後）

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

原題：2022年度専門科目（午後）。図の条件は以下に文章で明記する。

理想気体を用いる3段圧縮・2回中間冷却の理想ガスタービンサイクル O→A→B→C→D→E→F→G→O\mathrm O\to\mathrm A\to\mathrm B\to\mathrm C\to\mathrm D\to\mathrm E\to\mathrm F\to\mathrm G\to\mathrm O を考える。圧力・絶対温度・単位質量当たりのエントロピーを P,T,SP,T,S とし、比熱 CP,CVC_P,C_V は一定、κ=CP/CV\kappa=C_P/C_V とする。すべての状態変化は準静的である。

過程状態変化
O→A\mathrm O\to\mathrm A断熱圧縮
A→B\mathrm A\to\mathrm B定圧冷却
B→C\mathrm B\to\mathrm C断熱圧縮
C→D\mathrm C\to\mathrm D定圧冷却
D→E\mathrm D\to\mathrm E断熱圧縮
E→F\mathrm E\to\mathrm F定圧加熱
F→G\mathrm F\to\mathrm G断熱膨張
G→O\mathrm G\to\mathrm O定圧冷却

圧力は PF=PE≥PD=PC≥PB=PA≥PO=PGP_F=P_E\ge P_D=P_C\ge P_B=P_A\ge P_O=P_G。中間冷却は理想的で TO=TB=TDT_O=T_B=T_D とする。最高・最低温度比、全体圧力比、前2段の圧縮温度比を

θ=TFTO,π=PEPO,α=TATO,β=TCTB\theta=\frac{T_F}{T_O},\qquad\pi=\frac{P_E}{P_O},\qquad \alpha=\frac{T_A}{T_O},\qquad\beta=\frac{T_C}{T_B}

と定義する。

第1問 PAP_A を PO,κ,αP_O,\kappa,\alpha で表せ。

第2問 TET_E を TO,κ,α,β,πT_O,\kappa,\alpha,\beta,\pi で表せ。

第3問 TGT_G を TO,κ,θ,πT_O,\kappa,\theta,\pi で表せ。

第4問 単位質量の作動流体が1サイクルに行う仕事（比出力）WW を CP,TO,κ,θ,α,β,πC_P,T_O,\kappa,\theta,\alpha,\beta,\pi で表せ。

第5問 TO,θT_O,\theta を固定して WW を最大にする α,β,π\alpha,\beta,\pi を求め、κ,θ\kappa,\theta で表せ。また最大の WW を CP,TO,θC_P,T_O,\theta で表せ。

第6問 WW が最大となるときの熱効率 η\eta を θ\theta で表せ。

题目描述​

考虑理想气体的三级压缩、两次中间冷却燃气轮机循环：O→A\mathrm O\to\mathrm A、B→C\mathrm B\to\mathrm C、D→E\mathrm D\to\mathrm E 为绝热压缩，A→B\mathrm A\to\mathrm B、C→D\mathrm C\to\mathrm D 为等压中间冷却，E→F\mathrm E\to\mathrm F 等压加热，F→G\mathrm F\to\mathrm G 绝热膨胀，G→O\mathrm G\to\mathrm O 等压冷却。过程均准静态，比热恒定，κ=CP/CV\kappa=C_P/C_V。

压力满足 PF=PE≥PD=PC≥PB=PA≥PO=PGP_F=P_E\ge P_D=P_C\ge P_B=P_A\ge P_O=P_G，理想中冷使 TO=TB=TDT_O=T_B=T_D。定义 θ=TF/TO\theta=T_F/T_O、π=PE/PO\pi=P_E/P_O、α=TA/TO\alpha=T_A/T_O、β=TC/TB\beta=T_C/T_B。

  1. 用 PO,κ,αP_O,\kappa,\alpha 表示 PAP_A。
  2. 用 TO,κ,α,β,πT_O,\kappa,\alpha,\beta,\pi 表示 TET_E。
  3. 用 TO,κ,θ,πT_O,\kappa,\theta,\pi 表示 TGT_G。
  4. 求每单位质量工质每循环的净功 WW。
  5. 固定 TO,θT_O,\theta，求使 WW 最大的 α,β,π\alpha,\beta,\pi，及此时的最大净功。
  6. 求净功最大时的热效率。

Kai​

第1～3問​

m=(κ−1)/κm=(\kappa-1)/\kappa とおく。準静的断熱変化では T/PmT/P^m が一定なので

PA=POα1/m=POακ/(κ−1).\boxed{P_A=P_O\alpha^{1/m}=P_O\alpha^{\kappa/(\kappa-1)}}.

前2段の圧力比はそれぞれ α1/m,β1/m\alpha^{1/m},\beta^{1/m}。第3段の温度比は πm/(αβ)\pi^m/(\alpha\beta) だから

TE=TOπmαβ.\boxed{T_E=T_O\frac{\pi^m}{\alpha\beta}}.

膨張過程では全圧力比 π\pi で減圧されるため

TG=θTOπ−m.\boxed{T_G=\theta T_O\pi^{-m}}.

第4問​

タービン仕事から3台の圧縮機仕事を差し引く。

W=CP[(TF−TG)−(TA−TO)−(TC−TB)−(TE−TD)].W=C_P[(T_F-T_G)-(T_A-T_O)-(T_C-T_B)-(T_E-T_D)].

したがって

W=CPTO[θ+3−θπ−m−α−β−πmαβ].\boxed{W=C_PT_O\left[\theta+3-\theta\pi^{-m}-\alpha-\beta-\frac{\pi^m}{\alpha\beta}\right]}.

第5問​

x=πmx=\pi^m とおく。相加相乗平均より

α+β+xαβ≥3x1/3,\alpha+\beta+\frac{x}{\alpha\beta}\ge3x^{1/3},

等号は α=β=x1/3\alpha=\beta=x^{1/3}。さらに

θx+3x1/3≥4θ1/4,\frac\theta x+3x^{1/3}\ge4\theta^{1/4},

等号は θ/x=x1/3\theta/x=x^{1/3}。よって

α=β=θ1/4,π=θ3κ/[4(κ−1)],\boxed{\alpha=\beta=\theta^{1/4},\qquad \pi=\theta^{3\kappa/[4(\kappa-1)]}},
Wmax⁡=CPTO(θ−4θ1/4+3).\boxed{W_{\max}=C_PT_O(\theta-4\theta^{1/4}+3)}.

この条件では3段すべての圧縮温度比が等しく、θ>1\theta>1 なら各圧縮・加熱・冷却の向きも題意に合う。

第6問​

熱入力は Qin=CP(TF−TE)Q_{\rm in}=C_P(T_F-T_E)。最適状態では TE=TOθ1/4T_E=T_O\theta^{1/4} なので

η=θ−4θ1/4+3θ−θ1/4.\eta=\frac{\theta-4\theta^{1/4}+3}{\theta-\theta^{1/4}}.

q=θ1/4q=\theta^{1/4} とおき因数分解すると

η=1−3q+q2+q3=1−3θ1/4+θ1/2+θ3/4(θ>1).\boxed{\eta=1-\frac3{q+q^2+q^3} =1-\frac3{\theta^{1/4}+\theta^{1/2}+\theta^{3/4}}}\qquad(\theta>1).

θ=1\theta=1 ではサイクルが退化して熱入力・仕事ともゼロとなり、上式の極限は 00 である。

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