東京大学 工学系研究科 航空宇宙工学専攻 2022年度 流体力学（午後）

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• 东京大学
• 可压缩流动
• 控制体动量守恒

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

原題：2022年度専門科目（午後）。図の条件は以下に文章で明記する。

シリンダー内で静止していた熱量的完全気体を、右向きに一定速度 $u_p$ で動くピストンで圧縮すると、右向きに一定速度 $u_s$ の垂直衝撃波が生じた。$u_p,u_s$ は実験室系での速度である。衝撃波の上流側（右側）を状態1、下流側（ピストンとの間）を状態2とする。比熱比を $\gamma$、圧力・密度・音速を $p,\rho,a$ とする。

第1問 衝撃波静止系における流速を $u_1,u_2$ とすると、

$$\rho_1u_1=\rho_2u_2,\qquad p_1+\rho_1u_1^2=p_2+\rho_2u_2^2,\qquad \frac{a_1^2}{\gamma-1}+\frac{u_1^2}2=\frac{a_2^2}{\gamma-1}+\frac{u_2^2}2.$$

この系の $u_1,u_2$ を $u_p,u_s$ で表せ。

第2問 $\rho_2/\rho_1$ を $p_2/p_1,\gamma$ で表せ。

第3問 衝撃波マッハ数 $M_s=u_s/a_1$ をピストンマッハ数 $M_p=u_p/a_1$ と $\gamma$ で表せ。また $M_p$ を $p_2/p_1,\gamma$ で表せ。

第4問 衝撃波が右側の固定壁で反射し、実験室系で左向きに速度 $u_r$ で進む。この反射衝撃波の静止系で見た上流・下流速度を $u_p,u_r$ で表せ。

第5問 反射衝撃波と壁との間の圧力を $p_3$ とするとき、$p_3/p_2$ を $p_2/p_1,\gamma$ で表せ。

题目描述

初始静止的量热完全气体置于气缸中，活塞以恒速 $u_p$ 向右推进，产生以恒速 $u_s$ 向右传播的正激波。二者均为实验室系速度。激波右侧未受扰动的气体为状态1，激波与活塞之间为状态2。比热比为 $\gamma$，压力、密度、声速分别为 $p,\rho,a$。

1. 已知激波静止系中的质量、动量、能量守恒式如日文题面，用 $u_p,u_s$ 表示两侧速度 $u_1,u_2$。
2. 用 $p_2/p_1,\gamma$ 表示密度比。
3. 定义 $M_s=u_s/a_1,M_p=u_p/a_1$，用 $M_p,\gamma$ 表示 $M_s$，再用压力比和 $\gamma$ 表示 $M_p$。
4. 激波在右侧固定壁反射后以速度 $u_r$ 向左传播。求其静止系中的上下游气体速度。
5. 反射激波与壁之间的压力为 $p_3$，用 $p_2/p_1,\gamma$ 表示 $p_3/p_2$。

Kai

第1問

入射衝撃波の静止系では気体は左へ流れる。その速さは

$$\boxed{u_1=u_s,\qquad u_2=u_s-u_p}.$$

第2問

$P=p_2/p_1,\ q=\rho_2/\rho_1$ とおく。質量保存から $u_2=u_1/q$、運動量保存から

$$\frac{\rho_1u_1^2}{p_1}=\frac{P-1}{1-1/q}.$$

$a_i^2=\gamma p_i/\rho_i$ をエネルギー式に用いると

$$\frac{\gamma}{\gamma-1}\left(\frac Pq-1\right) =\frac12(P-1)\left(1+\frac1q\right).$$

整理して

$$\boxed{q=\frac{(\gamma+1)P+\gamma-1}{(\gamma-1)P+\gamma+1}}.$$

第3問

前問と運動量式より $M_s^2=[(\gamma+1)P+\gamma-1]/(2\gamma)$。また

$$M_p=M_s\left(1-\frac1q\right)=\frac{2(M_s^2-1)}{(\gamma+1)M_s}.$$

正の根を選んで

$$\boxed{M_s=\frac{\gamma+1}{4}M_p+\sqrt{1+\left(\frac{\gamma+1}{4}M_p\right)^2}}.$$

圧力比による表示は

$$\boxed{M_p=(P-1)\sqrt{\frac{2}{\gamma[(\gamma+1)P+\gamma-1]}}}.$$

第4問

反射前の状態2は実験室系で右向きに $u_p$、壁側の状態3は静止している。左向きに動く反射衝撃波から見ると両者とも右向きで、

$$\boxed{u_{\rm upstream}=u_p+u_r,\qquad u_{\rm downstream}=u_r}.$$

第5問

$Q=p_3/p_2$ とする。反射波の前後の速度差も $u_p$ であるから、第3問を状態2の音速 $a_2$ で用いて

$$\left(\frac{u_p}{a_2}\right)^2 =\frac{2(Q-1)^2}{\gamma[(\gamma+1)Q+\gamma-1]}.$$

一方、$a_2^2/a_1^2=P/q$ なので

$$\frac{(Q-1)^2}{(\gamma+1)Q+\gamma-1} =\frac{(P-1)^2}{P[(\gamma-1)P+\gamma+1]}.$$

この二次方程式の根は $Q=1/P$ と

$$\boxed{\frac{p_3}{p_2}=\frac{(3\gamma-1)P-(\gamma-1)}{(\gamma-1)P+\gamma+1}}.$$

反射衝撃波は圧縮波なので $P>1,Q>1$ となる後者を選ぶ。