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東京大学 工学系研究科 航空宇宙工学専攻 2022年度 流体力学（午前）

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

原題：2022年度専門科目（午前）。図の条件は以下に文章で明記する。

一様速度 U∞U_\infty の非圧縮性粘性定常流中に、迎角 0∘0^\circ の半無限長二次元平板を置く。前縁を原点とし、平板に沿う方向を xx、板から離れる方向を yy、速度成分を U,VU,V とする。密度 ρ\rho と動粘性係数 ν\nu は一定で、主流方向の圧力勾配はない。平板全面で速度 V0>0V_0>0 の一様吸い込みを行い、壁面では U=0, V=−V0U=0,\ V=-V_0 とする。添字 00 は壁面、ff は前縁から十分離れた下流を表す。

第1問 前縁から十分離れ、流れが xx に依存しない層流境界層を考える。

  1. 次の式を用い、(U/U∞)f(U/U_\infty)_f を yy の関数として求めよ。
∂U∂x+∂V∂y=0,U∂U∂x+V∂U∂y=−1ρdPdx+ν∂2U∂y2.\frac{\partial U}{\partial x}+\frac{\partial V}{\partial y}=0,\qquad U\frac{\partial U}{\partial x}+V\frac{\partial U}{\partial y} =-\frac1\rho\frac{dP}{dx}+\nu\frac{\partial^2U}{\partial y^2}.
  1. 排除厚さ δf∗\delta_f^* と壁面粘性せん断応力 (τf)0(\tau_f)_0 を求めよ。ただし
δ∗=∫0∞(1−UU∞)dy.\delta^*=\int_0^\infty\left(1-\frac{U}{U_\infty}\right)dy.

第2問 発達途上の速度分布を ξ=y/δ∗\xi=y/\delta^* として

UU∞=g(ξ)=(1−K)FB(ξ)+KFf(ξ)\frac{U}{U_\infty}=g(\xi)=(1-K)F_B(\xi)+KF_f(\xi)

で近似する。FBF_B は吸い込みのない Blasius 型境界層の速度分布、FfF_f は第1問の分布であり、K=K(x)K=K(x) はパラメータである。プライムは ξ\xi による微分を表す。壁面での (g′)0(g')_0 と (g′′)0(g'')_0 の関係を境界層方程式から求めよ。

第3問 KK は yy に依存せず、

(g′)0=(1−K)(FB′)0+K(Ff′)0,(g′′)0=(1−K)(FB′′)0+K(Ff′′)0(g')_0=(1-K)(F_B')_0+K(F_f')_0,\qquad (g'')_0=(1-K)(F_B'')_0+K(F_f'')_0

である。

  1. (Ff′)0,(Ff′′)0(F_f')_0,(F_f'')_0 を求めよ。
  2. (FB′′)0=0(F_B'')_0=0 および a≡(FB′)0a\equiv(F_B')_0 を用いて
V0δ∗ν=Ka+(1−a)K\frac{V_0\delta^*}{\nu}=\frac{K}{a+(1-a)K}

を示せ。

题目描述​

在速度 U∞U_\infty 的定常不可压缩黏性流中，半无限长二维平板与来流平行。xx 沿板面，yy 垂直离开板面，速度分量为 U,VU,V。密度 ρ\rho、运动黏度 ν\nu 恒定，沿板面无压力梯度。全板均匀吸气，壁面满足 U=0,V=−V0U=0,V=-V_0，其中 V0>0V_0>0。下标 0,f0,f 分别表示壁面和充分下游。

第1问：在充分下游假定各物理量不依赖 xx，由上述连续方程和边界层方程求 U/U∞U/U_\infty；再求排除厚度 δf∗=∫0∞(1−U/U∞)dy\delta_f^*=\int_0^\infty(1-U/U_\infty)dy 和壁面切应力。

第2问：令 ξ=y/δ∗\xi=y/\delta^*，用 g=(1−K)FB+KFfg=(1-K)F_B+KF_f 近似发展中的速度分布。FBF_B 为无吸气 Blasius 分布，FfF_f 为充分下游分布，KK 仅依赖 xx。求壁面一、二阶导数 (g′)0,(g′′)0(g')_0,(g'')_0 的关系。

第3问：(1) 求 (Ff′)0,(Ff′′)0(F_f')_0,(F_f'')_0；(2) 利用 (FB′′)0=0(F_B'')_0=0、a=(FB′)0a=(F_B')_0 和题给插值式，证明 V0δ∗/ν=K/[a+(1−a)K]V_0\delta^*/\nu=K/[a+(1-a)K]。

Kai​

第1問​

連続の式より Vy=0V_y=0 なので V=−V0V=-V_0。したがって

νUyy+V0Uy=0.\nu U_{yy}+V_0U_y=0.

U(0)=0, U(∞)=U∞U(0)=0,\ U(\infty)=U_\infty を課すと

(UU∞)f=1−e−V0y/ν.\boxed{\left(\frac U{U_\infty}\right)_f=1-e^{-V_0y/\nu}}.

よって

δf∗=νV0,(τf)0=ρνUy(0)=ρU∞V0.\boxed{\delta_f^*=\frac{\nu}{V_0}},\qquad \boxed{(\tau_f)_0=\rho\nu U_y(0)=\rho U_\infty V_0}.

第2問​

壁面では U=0U=0 なので −V0Uy=νUyy-V_0U_y=\nu U_{yy}。Uy=U∞g′/δ∗U_y=U_\infty g'/\delta^*、Uyy=U∞g′′/(δ∗)2U_{yy}=U_\infty g''/(\delta^*)^2 を代入して

(g′′)0=−V0δ∗ν(g′)0.\boxed{(g'')_0=-\frac{V_0\delta^*}{\nu}(g')_0}.

第3問​

第1問の分布を ξ=y/δf∗\xi=y/\delta_f^* で表すと Ff=1−e−ξF_f=1-e^{-\xi}。したがって

(Ff′)0=1,(Ff′′)0=−1.\boxed{(F_f')_0=1,\qquad(F_f'')_0=-1}.

内挿式から (g′)0=a+(1−a)K(g')_0=a+(1-a)K、(g′′)0=−K(g'')_0=-K。第2問の関係に代入して

V0δ∗ν=Ka+(1−a)K.\boxed{\frac{V_0\delta^*}{\nu}=\frac{K}{a+(1-a)K}}.
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